Enunciado

Na transmissão de informação digital, a probabilidade de um bit ter alta, moderada e baixa distorção é 0.01, 0.04 e 0.95, respectivamente. Suponha que três bit sejam transmitidos e que a quantidade de distorção de cada bit seja considerado independente. Sejam X e Y o número de bits com alta e moderada distorção, respectivamente. Determine

Passo 1

Então gente, temos alta (evento H), distorção moderada (evento M) e baixa (evento L).

Seja:

p 1 = P ( H ) = 0.01 ,   p 2 = P ( M ) = 0.04 ,   p 3 = P ( L ) = 0.95

q 1 = 1 - p 1 = 0.99 ,   q 2 = 1 - p 2 = 0.96 ,   q 3 = 1 - p 3 = 0.05

e a quantidade de distorção de cada bit é considerada independente. Sejam X e Y o número de bits com distorção alta e moderada dos três, respectivamente.

Passo 2

Letra a:

Temos que a função de massa que segue uma distribuição multinomial:

f X Y ( x , y ) = P ( X = x ,   Y = y ) = 3 ! x ! y ! ( 3 - x - ! p 1 x p 2 y p 3 3 - x -

De três bits, escolhemos x para estar com alta distorção e y com moderado, e o resto são distorções baixas, isso significa que podemos calcular as probabilidades acima assim.

Multiplicando as probabilidades obtemos f X Y ( x , y ) para cada x , y   ∈ { 0,1 , 2,3 , } .

Após o cálculo, nós temos:

Não é possível obter 2 com distorção alta e 2 com distorção moderada de 3 bits. Mesma explicação para os outros zeros.

Passo 3

Letra b:

Calculamos a distribuição marginal pela definição:

P ( X = x ) = ∑ y ∈ R Y P ( X = x , Y = y )

Que significa que é uma soma das probabilidades em cada linha, ou podemos escrever como:

Passo 4

Letra c:

A expectativa matemática da variável aleatória discreta Y é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( X = x ) :

E ( X ) = ∑ x P ( X = x )

Usando a definição, nós temos:

E ( X ) = 0.03

Passo 5

Letra d:

Da definição de probabilidade condicional, temos:

P ( A | B ) = P ( A , B ) P ( B )

onde estão A e B são eventos, e P ( B ) > 0 . Podemos calcular para a função de massa também, então nós temos:

f Y | X = 1 ( y ) = f X Y ( 1 , y f X ( 1 )

onde sabemos que f X ( 1 ) = 0.029835 e todos os valores de f X Y ( 1 , y ) para cada y ∈ { 0,1 , 2,3 } . Calculando o quociente, obtemos a distribuição, ou a função de massa:

Passo 6

Letra e:

Temos a definição acima, vamos usá-la:

E ( Y | X = 1 ) = 0.080807

Passo 7

Letra f:

Podemos encontrar a distribuição marginal para Y e verificar as seguintes funções que são o mesmo para todos x , y   ∈ { 0,1 , 2,3 } :

f X Y ( y ) = f X ( x ) f Y ( y )

Mas, uma vez que já calculamos Y | X = 1 note que, para y = 1 :

f Y ( 1 ) = 0.1083 + 0.00228 + 0.000012 = 0.110592 ;

f Y | X = 1 ( 1 ) = 0.920824

que não é igual. Conclusão: eles não são independentes.

Resposta

  1. Ver resolução
  2. Ver resolução
  3. 0.03
  4. Ver resolução
  5. 0.080807
  6. Não são independentes
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