Enunciado

Dois sistemas diferentes de computador são monitorados durante um total de n semanas. Seja X i o número de falhas do primeiro sistema durante a i -ésima semana e suponha que os X i ' 's sejam independentes e tirados de uma distribuição de Poisson com parâmetro λ 1 . De forma semelhante, seja Y i o número de falhas do segundo sistema durante a i-ésima semana, e assuma independência em que cada Poisson de Y i possua parâmetro λ 2 . Derive as emvs de λ 1 , λ 2 , e λ 1 - λ 2 . [ S u gestāo: usando a independência, escreva a fmp conjunta (verossimilhança) dos X i 's e Y i 's juntos.]

Passo 1

Para uma única amostra de uma distribuição de Poisson, f x 1 , … , x n ; λ = e - λ λ x 1 x 1 ! … e - λ λ x n x n ! = e - n λ λ ∑ x 1 x 1 ! … x n ! ,

então temos:

l n ⁡ f x 1 , … , x n ; λ = - n λ + ∑ x i l n ⁡ ( λ ) - ∑ l n ⁡ x i ! .

Passo 2

Portanto d d λ l n l n   f x 1 , … , x n ; λ   = - n + ∑ x i λ = 0 ⇒ λ ^ = ∑ x i n = x _ .

Para nosso problema, f x 1 , … , x n , y 1 … y n ; λ 1 , λ 2 é um produto da probabilidade da amostra x e da probabilidade da amostra y, o que implica que λ ˆ 1 = x ‾ , λ ˆ 2 = y ‾ e (pelo princípio da invariância) λ 1 - λ 2 = x _ - y _

Resposta

x _ - y _

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