Enunciado

Há dois tipos de pilhas em uma cesta. Quando em uso, pilhas tipo i duram (em horas) um tempo exponencialmente distribuído com taxa λ i ,   i = 1,2 . Uma pilha retirada aleatoriamente da cesta tem probabilidade p i de ser do tipo i , onde ∑ i = 1 2 p i . Se uma bateria aleatoriamente escolhida continua a operar após i horas de uso, qual é a probabilidade de que ela continue a operar após s horas adicionais?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Como nós temos aqui dois tipos de bateria, vamos dizer que temos a bateria Tipo 1 e Tipo 2, logo:

P ( p r o b a b i l i d a d e   d e   s e l e c i o n a r   b a t e r i a   d o   t i p o   1 ) = p 1

P ( p r o b a b i l i d a d e   d e   s e l e c i o n a r   b a t e r i a   d o   t i p o   2 ) = p 2

T e m p o   d e   v i d a   b a t e r i a   d o   t i p o   1 = E x p o n e n c i a l   ( λ 1 )

T e m p o   d e   v i d a   b a t e r i a   d o   t i p o   2 = E x p o n e n c i a l   ( λ 2 )

Seja X o tempo de vida de uma bateria escolhida aleatoriamente da lixeira. Se uma bateria escolhida aleatoriamente ainda estiver operando após t horas, a probabilidade de ainda estar operando após mais s horas, então:

P X > s + t X > t = P ( X > s + t ∩ X > t ) P ( X > t )

P X > s + t X > t = P ( X > s + t ) P ( X > t )

No final teremos:

P X > s + t X > t = e - λ 1 ( s + t ) p 1 + e - λ 2 ( s + t ) p 2 e - λ 1 t p 1 + e - λ 2 t p 2

Resposta

P X > s + t X > t = e - λ 1 ( s + t ) p 1 + e - λ 2 ( s + t ) p 2 e - λ 1 t p 1 + e - λ 2 t p 2

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