Enunciado

A duração (em centenas de horas) de uma lâmpada especial segue o modelo Geométrico com parâmetro p = 0,7 . Determine a probabilidade da lâmpada:

  1. Durar menos de 500 horas.
  2. Durar mais de 200 e menos de 400 horas.
  3. Sabendo-se que vai durar mais de 300 horas, durar mais de 800 horas.
  4. O item anterior é uma aplicação de um resultado geral válido para o modelo Geométrico. Assim, mostre que para X   ~   G ( p ) e quaisquer números inteiros positivos m e n , vale P X > m + n X > m ) = P ( X > n ) .

Passo 1

Temos uma situação que segue o modelo Geométrico, assim, teremos a seguinte função de probabilidade:

P X = k = p 1 - p k

Nosso parâmetro é dado por p = 0,7 , assim:

P X = k = 0,7 ⋅ 0,3 k

Assim, em (a), queremos descobrir a probabilidade de uma lâmpada durar menos de 500 horas, ou seja, 5 centenas de horas, assim P ( X < 5 ) , logo:

P X < 5 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4

P X < 5 = 0,7 + 0,7 ⋅ 0,3 1 + 0,7 ⋅ 0,3 2 + 0,7 ⋅ 0,3 3 + 0,7 ⋅ 0,3 4

P X < 5 = 0,7 + 0,21 + 0,063 + 0,0189 + 5,67 × 10 - 3 = 0,99757

Passo 2

Já em (b), queremos saber a probabilidade de que a lâmpada dure mais de 200 horas e menos de 400, ou seja, P ( 2 < X < 4 ) , assim:

P 2 < X < 4 = P X = 3 = 0,7 ⋅ 0,3 3 = 0,0189

Passo 3

Em (c) vamos ter uma propriedade da distribuição geométrica, sendo ela a perda de memória. Devido ao fato de as tentativas serem independentes, a contagem do número de tentativas até o próximo sucesso pode ser iniciada em qualquer tentativa, sem mudar a distribuição de probabilidades da v.a.

A implicação de usar um modelo geométrico é que o sistema presumivelmente não será desgastado. A probabilidade de sucesso p permanece constante ao longo do tempo. Assim, temos:

P X > t + s X > s = P X > t

Daí, pelo enunciado da questão, queremos saber P X > 8 X > 3 = P ( X > 8 + 3 | X > 3 ) , assim, pela propriedade da perda de memória,

P X > 8 X > 3 = P X > 8 = P X ≤ 8 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7 + P X = 8

Logo,

P X > 8 X > 3 = 0,7 + 0,7 ⋅ 0,3 1 + 0,7 ⋅ 0,3 2 + 0,7 ⋅ 0,3 3 + 0,7 ⋅ 0,3 4 + 0,7 ⋅ 0,3 5 + 0,7 ⋅ 0,3 6 + 0,7 ⋅ 0,3 7 + 0,7 ⋅ 0,3 8

Assim,

P X > 8 X > 3 = 0,9998

Passo 4

Temos para provar o item anterior que,

P X > m + n X > m = P ( X > m + n ; X > m ) P ( X > m ) = P ( X > m + n ) P ( X > m )

A partir disso, vamos introduzir os somatórios de cada probabilidade, assim:

P X > m + n X > m = ∑ k = m + n + 1 ∞ p 1 - p k ∑ j = m + 1 ∞ p 1 - p j

Vamos aplicar algumas propriedades do somatório, daí:

P X > m + n X > m = 1 - p ∑ k = 0 m + n 1 - p k 1 - p ∑ j = 0 m 1 - p j = 1 - p m + n + 1 1 - p m = 1 - p n + 1 = 1 - p ∑ k = 0 n 1 - p k

Daí,

P X > m + n X > m = ∑ k = t + 1 ∞ p 1 - p k = P ( X > n )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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