Enunciado

Um ecologista deseja selecionar um ponto dentro de uma região circular de amostragem, de acordo com uma distribuição uniforme (na prática, isso poderia ser feito selecionando-se primeiro uma direção e, depois, uma distância do centro naquela direção). Seja X coordenada x do ponto selecionado e Y coordenada y desse ponto. Se o círculo tiver centro em (0, 0) e raio R , então a fdp conjunta de X e Y é.

f x , y = 1 π R 2                       x 2 + y 2 ≤ R 2 0                           c a s o   c o n t r á r i o

a. Qual é a probabilidade de o ponto selecionado estar dentro de R / 2 do centro da região circular? [Sugestão: desenhe a região de densidade positiva D . Já que f ( x ,   y ) é constante em D , calcular a probabilidade resume-se em calcular uma área.]

b. Qual é a probabilidade de X e Y serem diferentes de 0 no máximo R / 2 ?

c. Responda ao item (b) com R /   2 substituindo R / 2 .

d. Qual é a fdp marginal de X ? De Y? X e Y são independentes?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? A variável aleatória é uniformemente distribuída pelo disco. Portanto, podemos calcular as probabilidades com a fórmula abaixo:

P ( X , Y ) ∈ A = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Aqui, o conjunto A é um círculo com raio R / 2 , logo:

P ( X , Y ) ∈ A = ∫ ∫ A 1 π R 2 d x d y

= 1 π R 2 ∙ π R 2 2

= 0,25

Passo 3

O X e Y podem diferir em ambas as direções. Sendo assim, o evento em X pode ser descrito como:

- R 2 ≤ X ≤ R 2

E a probabilidade que precisamos calcular é:

P - R 2 ≤ X ≤ R 2 ,   - R 2 ≤ Y ≤ R 2 = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

Onde, A é um quadrado com lado R 2 + R 2 = R .

P - R 2 ≤ X ≤ R 2 ,   - R 2 ≤ Y ≤ R 2 = 1 π R 2 ∙ R 2

= 1 π

Passo 4

Agora, calculamos da mesma forma que no passo anterior, a única diferença é que o lado é maior.

P - R 2 ≤ X ≤ R 2 ,   - R 2 ≤ Y ≤ R 2 = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

= 1 π R 2 ∙ 2 R 2

= 2 π

Passo 5

Por fim, para calcularmos a fdp marginal de uma variável aleatória contínua usamos:

f X x = ∫ - ∞ ∞ f ( x , y ) d y

Os limites da integral são:

x 2 + y 2 = R 2

Com isso, temos:

y = R 2 - x 2 , y = - R 2 - x 2

Portanto, a fdp marginal de X é definida por:

f X x = ∫ - R 2 - x 2 R 2 - x 2 1 π R 2 d y

= 1 π R 2 ∙ 2 R 2 - x 2

Para - R ≤ x ≤ R .

E a fdp marginal de Y :

f Y y = ∫ - R 2 - x 2 R 2 - x 2 1 π R 2 d x

= 1 π R 2 ∙ 2 R 2 - y 2

Para - R ≤ x ≤ R .

Então, para definirmos se duas variáveis são independentes elas devem respeitar a seguinte equação:

f x , y = f X ( x ) ∙ f Y ( y )

Sendo assim, podemos notas que o produto das fdps não resulta em f ( x , y ) . Portanto, as variáveis são dependentes.

Resposta

  1. P ( X , Y ) ∈ A = 0,25
  2. P - R 2 ≤ X ≤ R 2 ,   - R 2 ≤ Y ≤ R 2 = 1 π
  3. P - R 2 ≤ X ≤ R 2 ,   - R 2 ≤ Y ≤ R 2 = 2 π
  4. Resolução no Passo 5.

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