Enunciado

Um elevador parte do subsolo com 8 pessoas (não incluindo o ascensorista) e as deixa todas juntas ao chegar no último piso, no sexto andar. De quantas maneiras poderia o ascensorista perceber as pessoas deixando o elevador se todas elas parecessem iguais para ele?

E se as 8 pessoas correspondessem a 5 homens e 3 mulheres, e o ascensorista pudesse diferenciar um homem de uma mulher?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos tentar tirar as pessoas do elevador.

Neste caso temos 8 pessoas para distribuir pelos 6 andares. Já que todas elas parecem iguais podemos representar o número de pessoas por andar por uma variável.

As variáveis x 1 ,   x 2 ,   … ,   x 6 representam o número de pessoas que desceram no n -ésimo andar. Como temos 8 pessoas no total a soma x 1 + x 2 + … + x 6 = 8 .

Então para encontrarmos quantas formas temos de fazer isto basta calcularmos o numero de soluções não negativas desta equação.

Passo 2

Assim como mostra a alegoria do livro podemos pensar que cada variável é um espaço entre barrinhas e que temos 8 bolinhas para colocar entre estes espaços. Por exemplo a solução x 1 = 1 , x 2 = 3 , x 3 = 0 , x 4 = 0 , x 5 = 4 , x 6 = 0 seria representado por:

⋅ | ⋅ ⋅ ⋅ | | | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ |

E todas as outras soluções são permutações desta representação. Vamos utilizar a formula de permutação com repetição:

P 13 8 , 5 = 13 ! 8 ! 5 ! = 1287

Passo 3

No caso que tem 3 mulheres e 5 homens vamos fazer o mesmo cálculo da anterior, mas um só pra homens e outro para mulheres:

A equação dos homens é:

x 1 + x 2 + … + x 6 = 5

Seguindo a mesma analogia das barras e pontos teríamos 5 separadores e 5 pontos, então será P 10 5,5 :

P 10 5,5 = 10 ! 5 ! 5 ! = 252

E a equação das mulheres é:

x 1 + x 2 + … + x 6 = 3

Seguindo a mesma analogia das barras e pontos teríamos 5 separadores e 3 pontos, então será P 8 5,3 :

P 8 5,3 = 8 ! 5 ! 3 ! = 56

Como são dois eventos simultâneos pelo PFC vamos multiplicar as possibilidades de cada um para achar os totais:

252 ⋅ 56 = 14112  

Resposta

Para 8 pessoas iguais teremos 1287 possibilidades.

E quando é dividido entre homens e mulher teremos 14112 possibilidades.

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