Enunciado

Uma empresa decidiu fabricar paralamas de automóveis a partir de chapas importadas por via marítima, as quais vem acondicionadas em embalagens de 6 chapas cada. Tendo a empresa verificado que 5% das chapas são recebidas com oxidação, calcular a probabilidade de:

  1. Menos da metade das chapas de uma certa embalagem estarem oxidadas;
  2. No mínimo duas embalagens, de um grupo de 4 embalagens, terem exatamente duas chapas oxidadas por embalagem.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?!

De acordo com o conceito de Distribuição Binominal:

Seja uma experiência aleatória que pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições, na qual só podem ocorrer duas alternativas em cada prova: realização de um evento E (quando dizemos que houve sucesso), ou a não realização desse evento E (quando dizemos que houve insucesso). Suponhamos que essas n provas sejam independentes e que, em cada prova, as probabilidades de obter sucesso (p) e de obter insucesso (q) sejam constantes. Portanto:

P ( E ) = p

P ( E - ) = q = 1 - p

Consideramos agora o número de vezes (X) em que o evento E ocorre nas n provas independentes e então o número de vezes em que o evento E   (não ocorre E) será ( n - x ) . Considerando X como variável aleatória, temos então definida a distribuição Binomial.

Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucesso é:

P ( x )   =     C n , x ⋅ p x   ⋅ ( 1 - p ) n - x  

No item a) temos que:

  • x   <   3   (menos que a metade das chapas
  • p   =   5 %   =   0,05
  • n   =   6

Lembremos, da Análise Combinatória, que:

  C n , x =   n ! x ! ( n - x ) !

portanto:

P ( x < 3 ) =   P ( x = 0 ) + P ( x = 1 ) + P ( x = 2 )

P x < 3 = 6 ! 0 ! ( 6 - 0 ) ! ⋅   0,05 0   ⋅   ( 1 - 0,05 ) 6 - 0 + 6 ! 1 ! ( 6 - 1 ) ! ⋅   0,05 1   ⋅   ( 1 - 0,05 ) 6 - 1 + 6 ! 2 ! ( 6 - 2 ) ! ⋅   0,05 2   ⋅   ( 1 - 0,05 ) 6 - 2

P x < 3 = 0,998 = 99,8%

Passo 2

No item b) precisamos primeiramente saber qual a probabilidade de terem exatamente duas chapas oxidadas por embalagem: P ( x = 2 )

P x = 2 = 6 ! 2 ! ( 6 - 2 ) ! ⋅   0,05 2   ⋅   ( 1 - 0,05 ) 6 - 2 = 0,03

Agora precisamos calcular a probabilidade de no mínimo duas embalagens, de um grupo de 4 embalagens, terem exatamente duas chapas oxidadas por embalagem, onde:

  • n = 4
  • x ≥ 2
  • p = 0,03

P x ≥ 2 = P x = 2 +   P x = 3 +   P ( x = 4 )

P x ≥ 2 = 4 ! 2 ! ( 4 - 2 ) ! ⋅   0,03 2   ⋅   ( 1 - 0,03 ) 4 - 2 + 4 ! 3 ! ( 4 - 3 ) ! ⋅   0,03 3   ⋅   ( 1 - 0,03 ) 4 - 3 + 4 ! 4 ! ( 4 - 4 ) ! ⋅   0,03 4   ⋅   ( 1 - 0,03 ) 4 - 4

P x ≥ 2 = 0,0051 + 0,0001 + 0,00000081 = 0,0052   =   0,52 %

Até mais pessoal!

Resposta

  1. 99,8%;
  2. 0,52%.

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