Enunciado

Suponha que a variável aleatória X tenha os valores possíveis 1 , 2 , 3 , ..., e P X = j = 1 2 j , j = 1 , 2 , ...

a) Calcule P X   s e r   p a r .

b) Calcule P X ≥ 5 .

c) Calcule P X   s e r   d i v i s í v e l   p o r   3 .

Passo 1

Nesse problema temos a seguinte função distribuição de probabilidade:

P X = j = 1 2 j ,           j = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Vamos verificar se essa distribuição é normalizada, isto é, se a soma de todas as probabilidades é 1:

P X = 1 + P X = 2 + … = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + …

Observe que as probabilidades formam uma PG (progressão geométrica) com primeiro termo a 1 = 1 / 2 e razão q = 1 / 2 . Trata-se de uma PG infinita cuja soma é dada por

S ∞ = a 1 1 - q = 1 / 2 1 - 1 2 = 1

Portanto, a soma de todas as probabilidades é 1 , como deve ser!

Passo 2

Para achar a probabilidade de X ser par, temos que considerar apenas os casos com j = 2 ,   4 ,   6 ,   … . Assim,

P X   s e r   p a r = P X = 2 + P X = 4 + … = 1 4 + 1 16 + 1 64 + …

Trata-se de uma PG infinita com a 1 = 1 / 4 e razão 1 / 4 , de modo que

P X   s e r   p a r = 1 / 4 1 - 1 4 = 1 4 ⋅ 4 3 → P X   s e r   p a r = 1 3

Passo 3

No item (b) queremos a probabilidade que X seja maior ou igual a 5. Para isso, usamos:

P X < 5 + P X ≥ 5 = 1

Logo,

P X ≥ 5 = 1 - P X < 5

Mas note que

P X < 5 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X + 4 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 = 15 16

Portanto,

P X ≥ 5 = 1 - 15 16 → P X ≥ 5 = 1 16

Passo 4

Por fim, queremos a probabilidade que X seja divisível por 3 , o que ocorre para j = 3 ,   6 ,   9 ,   … Portanto,

P X   d i v i s í v e l   p o r   3 = P X = 3 + P X = 6 + … = 1 8 + 1 64 + 1 512 + …

Trata-se de uma PG infinita com a 1 = 1 / 8 e razão q = 1 / 8 :

P X   d i v i s í v e l   p o r   3 = 1 / 8 1 - 1 8 = 1 8 ⋅ 8 7 → P X   d i v i s í v e l   p o r   3 = 1 7

Resposta

P X   s e r   p a r = 1 3

P X ≥ 5 = 1 16

P X   d i v i s í v e l   p o r   3 = 1 7

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