Enunciado

Uma empresa montou as duas seguintes regressões:

Pede-se:

  1. Calcular o coeficiente de explicação de cada uma dessas regressões;
  2. Efetuar a análise do melhoramento, ao nível de significância de 5%.

Dados:

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o cálculo do coeficiente de explicação, para duas variáveis explicativas temos a seguinte equação:

R 2 = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 S Y Y

Passo 2

No item a) queremos calcular os coeficientes de explicação para cada uma das regressões. Para a regressão simples:

Y ^ = - 1,72 + 0,2 2   X 2

Temos:

  • a = - 1,72 ;
  • b 2 = 0,2 2 .
  • Então:

    R 2 = b 2 S Y 2 S Y Y = 0,2 2 ∙ 100 30 = 73,3 %

    E para a regressão múltipla:

    Y ^ = - 2,35 + 0 , 13   X 1 + 0,1 1   X 2

    Temos:

  • a = - 2,35 ;
  • b 1 = 0 , 13 ;
  • b 2 = 0,1 1 .

R 2 = 0 , 13 ∙ 1 20 + 0,1 1 ∙ 100 30 = 88 , 7 %

Passo 3

No item b) iremos efetuar a análise de melhoramento. O melhoramento, devido a introdução de uma nova variável é dado pela equação:

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 2 S 22 ∙ S Y 2

E a tabela de Análise de Variância fica:

Se F M > F t a b o melhoramento é significativo.

Então antes de fazermos os cálculos, vamos encontrar o F tabelado, onde:

  • G L M = 1 ;
  • G L R = 9 .

Para α = 0,0 5 :

F t a b = 5,12

Passo 4

Agora vamos calcular o melhoramento para o modelo dado por f ( X 2 ) :

∆   = 0 , 13 ∙ 1 20 + 0,1 1 ∙ 100 - 100 450 ∙ 100 = 4,38

E o quadrado médio residual:

S 2 = 3 0 - 0 , 13 ∙ 1 20 - 0,1 1 ∙ 100 12 - 3 = 0,38

Portanto, nosso valor de F c a l c é:

F M = 4,38 0,38 = 11,53

Como F M > F t a b ( 11 , 53 > 5,12 ), o melhoramento é significativo para α = 0,0 5 .

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. R 2 = 73 , 3 % regressão simples;
  2. R 2 = 88,7 % regressão múltipla.

  3. O melhoramento é significativo ( F M > F t a b ).

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