Enunciado

Num certo ano, foi feito um levantamento, em n = 10 estados brasileiros, a respeito da renda do estado Y , em milhões de cruzeiros, em função da renda da indústria X 1 e de seviços X 2 (também em milhões de cruzeiros, ambas).

Efetuando o cálculo dos somatórios necessários à montagem de regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Testar a existência da regressão múltipla, bem como efetuar a análise do melhoramento da regressão múltipla em relação à simples (só com X 2 ), ambas ao nível de 0,1%.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para fazermos o teste de existência da regressão múltipla e análise de melhoramento, iremos fazer pela Análise de Variância representada pela tabela:

  • Se F R > F t a b existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 ;
  • Se F M > F t a b o melhoramento é significativo para essa variável X i .

Para a análise de melhoramento em relação a X 2 :

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 2 S 22 ∙ S Y 2

Passo 2

Então vamos para o nosso exercício. Precisamos dos dados que obtemos no exercício 11a) e 11b):

  • b = 1,93 ;
  • b 1 = 1,20 ;
  • b 2 = 0,97 ;
  • S Y 1 = 392,5 ;
  • S Y 2 = 445,0 ;
  • S Y Y = 907,5 ;
  • S 22 = 230,0 .

Primeiramente iremos encontrar nosso F tabelado, onde:

  • G L E = 2 ;
  • G L M = 1 ;
  • G L R = n - 3 = 10 - 3 = 7 .

Para α = 0,001 :

Esse valor a gente pode obter com a função INVF do programa Excel, da seguinte maneira:

Onde:

  • p r o b a b i l i d a d e = 0,001 ;
  • G L 1 = 1 ;
  • G L 2 = 7 .
  • F M - t a b = 2 9 , 25

    E para a regressão:

  • p r o b a b i l i d a d e = 0,001 ;
  • G L 1 = 2 ;
  • G L 2 = 7 .

F R - t a b = 21,69

Passo 3

Então agora vamos calcular os quadrados médios:

Q M E = 1,20 ∙ 392,5 + 0,97 ∙ 445,0 2 = 451,34

S 2 = 907,5 - 1,20 ∙ 392,5 - 0,97 ∙ 445,0 7 = 0,69

F R = Q M E S 2 = 451,34 0,69 = 654,12

Como F R > F t a b ( 654,12 > 2 1,69 ), então existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 .

Passo 4

E por fim, vamos calcular o melhoramento:

∆   = 1,20 ∙ 392,5 + 0,97 ∙ 445,0 - 445,0 230,0 ∙ 445,0

∆   = 41,67

F M = ∆ S 2 = 41,67 0,69 = 60,39

Como F M > F t a b ( 60,39 > 2 9,25 ), o melhoramento é significativo em relação a X 2 para α = 0,001 .

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  • Existe regressão ( F R > F t a b );
  • O melhoramento é significativo ( F M < F t a b ).

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