Enunciado

Uma empresa produz sapatos do tipo popular, numa quantidade anual vendida Y (em mil unidades). Pretende-se verificar a relação entre essa quantidade vendida e o preço relativo da única concorrente existente no mercado X 1 e também seus gastos com propaganda X 2 (em mil cruzeiros).

Feito o levantamento de dados, para os n = 10 últimos anos, e calculados os somatórios necessários à montagem de regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear múltipla.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o caso de ter apenas duas variáveis explicativas:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2

Para encontrarmos os valores de a , b 1 e b 2 , iremos utilizar as equações:

O cálculo das médias ( Y , X 1 e X 2 ) são dadas pelas seguintes equações:

Para as variâncias vamos usar as equações:

E para as covariâncias:

Passo 2

Primeiramente iremos calcular as médias de Y , X 1 e X 2 , respectivamente:

Y - = 3549 1 0 = 354,9

X - 1 = 984 1 0 = 98,4

X - 2 = 254 1 0 = 25,4

O cálculo das variâncias:

S 11 = 97856 - 984 2 1 0 = 1030,4

S 22 = 7076 - 254 2 1 0 = 624,4

S Y Y = 1349099 - 3549 2 1 0 = 89558,9

E das covariâncias:

S Y 1 = 3 42895 - 3549 ∙ 984 1 0 = - 6326,6

S Y 2 = 95066 - 3549 ∙ 254 1 0 = 4921,4

S 21 = S 12 = 25018 - 984 ∙ 254 1 0 = 2 4 , 4

Passo 3

Com esses valores, finalmente conseguimos calcular os valores de b 2 , b 1 e a :

b 2 = 4921,4 24,4 - ( - 6326,6 ) 1030,4 624,4 2 4,4 - 2 4,4 1030,4 = 8,13

b 1 = 4921,4 2 4,4 - 624,4 2 4,4 ∙ 8,13 = - 6,35

a = 354,9 - ( - 6,35 ) ∙ 98,4 - 8,13 ∙ 25,4 = 773,24

Por fim, temos a equação da regressão linear múltipla:

Y ^ = 773,24 - 6,35 ∙ X 1 + 8,13 ∙ X 2

Tchau galerinha!!

Resposta

Y ^ = 773,24 - 6,35 ∙ X 1 + 8,13 ∙ X 2 .

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