Enunciado

Segundo dados da CESP, foi feito um levantamento, em n = 19 cidades do estado de São Paulo, a respeito da extensão da rede de transmissão urbana Y (em km de rede), em função da população economicamente ativa vinculada a atividades urbanas X 1 (em mil habitantes) e em função também da extensão territorial da cidade X 2 (em km2).

Efetuados os cálculos dos somatórios necessários à montagem de regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Testar a existência da regressão múltipla e efetuar a análise de seu melhoramento (em relação à regressão simples só com X 1 ), ambas ao nível de 2,5%.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para fazermos o teste de existência da regressão múltipla e análise de melhoramento, iremos fazer pela Análise de Variância representada pela tabela:

  • Se F R > F t a b existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 ;
  • Se F M > F t a b o melhoramento é significativo para essa variável X i .

Para a análise de melhoramento em relação a X 1 :

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 1 S 11 ∙ S Y 1

Passo 2

Então vamos lá! Do exercício 7b), temos os seguintes dados:

Primeiramente iremos encontrar nosso F tabelado, onde:

  • G L E = 2 ;
  • G L M = 1 ;
  • G L R = n - 3 = 19 - 3 = 16 .

Para α = 0,025 :

F R - t a b = 4,69

F M - t a b = 6,12

Passo 3

Então agora vamos calcular os quadrados médios:

Q M E = 49,59 ∙ 2351,66 + ( - 33,2 ) ∙ 111,73 2 = 56454,7

S 2 = 117229,3 - 49,59 ∙ 2351,66 - - 33,2 ∙ 111,73 16 = 269,99

F R = Q M E S 2 = 56454,7 269,99 = 209,1

Como F R > F t a b ( 209,1 > 4,69 ), então existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 .

Passo 4

Agora vamos calcular o melhoramento:

∆   = 49,59 ∙ 2351,66 + - 33,2 ∙ 111,73 - 2351,66 49,29 ∙ 2351,66

∆   = 710,06

F M = ∆ S 2 = 710,06 269,99 = 2,63

Como F M < F t a b ( 2,63 < 6,12 ), o melhoramento não é significativo em relação a X 1 para α = 0,025 .

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Existe regressão ( F R > F t a b ), porém o melhoramento não é significativo ( F M < F t a b ).

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