Enunciado

Encontrando a média, a variância e o desvio padrão. Nos exercícios 29 a 34, (a) encontre a média, a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade e (b) interprete os resultados.

33. Furacões O histograma da figura a seguir mostra a distribuição de furacões que atingiram o território norte-americano, por categoria, sendo 1 o nível mais fraco e 5 o mais forte. (Fonte: National Oceanic & Atmospheric Administration.)

Passo 1

Fala galerinha boa, tudo bem? Vamos para mais uma questão de distribuição de probabilidades. Para calcular a média devemos usar a fórmula do valor esperado em probabilidades:

x - = E X = ∑ i = 1 n x i * p ( x i )

Onde x será o valor dado na distribuição e p ( x i ) o valor de cada probabilidade associada a x.

Passo 2

Deste modo, basta substituir os valores na fórmula para encontra a média:

x - = 1 * 0 , 418 + 2 * 0 , 261 + 3 * 0 , 247 + 4 * 0 , 063 + 5 * 0 , 010

x - = 0 , 418 + 0 , 522 + 0 , 741 + 0 , 252 + 0 , 050

x - = 1,983

O número médio de cachorros por domicílio é de 1,983.

Passo 3

Para calcular a variância, usaremos a seguinte fórmula:

V X = E X 2 - [ E X ] ²

Onde:

E X 2 = ∑ i = 1 n ( x i ) ² * p ( x i )

Onde novamente x será o valor dado na distribuição e p ( x i ) o valor de cada probabilidade associada a x.

Passo 4

Para encontrar a variância vamos fazer primeiramente E X 2 :

E X 2 = 1 ² * 0,418 + 2 ² * 0,261 + 3 ² * 0,247 + 4 ² * 0,063 + 5 ² * 0,010

E X 2 = 1 * 0,418 + 4 * 0,261 + 9 * 0,247 + 16 * 0,063 + 2 5 * 0,010

E X 2 = 0 , 418 + 1,044 + 2,223 + 1,008 + 0,250

E X 2 = 4,493

E assim, podemos substituir os valores na fórmula da variância:

V X = E X 2 - [ E X ] ²

V X = 4,493 - [ 1,983 ] ²

V X = 4,493 - 3,932

V X = 1,011

A variância é 1,011.

Passo 5

Para encontrar o desvio padrão, basta fazer a raiz da variância.

σ ( X ) = V ( X )

σ ( X ) = 1,011

σ ( X ) = 1 , 005

O desvio padrão da distribuição é ±1,005.

E é isso galera, questão um pouco maior, mas que busca todos os parâmetros da distribuição de probabilidades. Até a próxima!

Resposta

A média é aproximadamente 2, então o furacão médio que atinge o território norte-americano é um furacão de categoria 2. O desvio padrão é 1,0, então a maioria dos furacões difere da média por não mais que 1 nível de categoria.

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