Enunciado

Numa escola A, os alunos submetidos a um teste obtiveram média 70, com desvio padrão 10. Em outra escola B, os alunos submetidos ao mesmo teste obtiveram média 65 e desvio padrão 15. Se colhermos na escola A uma amostra de 36 alunos e na B, uma de 49 alunos, qual é a probabilidade de que a diferença entre as médias seja superior a 6 unidades?

Passo 1

Consideremos duas populações :   X com parâmetros μ 1 e σ 1 2 , que representa os alunos da escola A; e Y com parâmetros μ 2 e σ 2 2 , que representa os alunos da escola B.

Vamos lembrar o que o Teorema do Limite Central nos diz?

“Para amostras aleatórias simples ( X 1 ,   . . . ,   X n ) , retiradas de uma população com média μ e variância σ 2 finita, a distribuição amostral da média X - aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal, com média μ e variância σ 2   / n .”

Logo, pelo TCL: X - ~ N 70 ; 100 36 e Y - ~ N 65 ; 225 49 .

Passo 2

Queremos a probabilidade de que a diferença entre as médias seja superior a 6 unidades.

Vamos chamar de D a diferença entre as médias, portanto

D ~ N μ 1 - μ 2 ; σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 → D ~ N 5 ; 100 36 + 225 49

Logo, utilizando a nossa famosa estatística Z , temos

P D > 6 = 35,6 %

Resposta

P D > 6 = 35,6 %

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