Enunciado

A espessura de um filme fotorresistente usado na fabricação de semicondutores tem uma média de 10 micrômetros e um desvio padrão de 1 micrômetro. Considere que a espessura seja normalmente distribuída e que as espessuras de diferentes pastilhas sejam independentes.

  1. Determine a probabilidade da espessura média de 10 pastilhas ser maior de 11 ou menor de 9 micrômetros.
  2. Sendo 0.01 a probabilidade da espessura média exceder 11 micrômetros, determine o número de pastilhas que necessita ser medido.
  3. Se a espessura média for 10 micrômetros, qual deverá ser o desvio padrão da espessura, de modo que a probabilidade da média de 10 pastilhas ser maior que 11 ou menor que 9 micrômetros seja igual a 0.001?

Passo 1

Seja a variável aleatória X a espessura das pastilhas em micrômetro.

X segue a distribuição normal com uma média μ = 10 e o desvio padrão de σ = 1 micrômetro.

Letra a:

Vamos calcular a probabilidade de que a espessura média de 10 pastilhas seja maior que 11 ou menor que 9 micrômetros.

O número de pastilhas em uma amostra é n = 10 :

P ( 9 < X ̄ < 11 ) = P 9 - 10 1 10 < X ̄ - μ σ n < 11 - 10 10

= 0.9984

Então,

1 - 0.9984 = 0.0016

Passo 2

Letra b:

Vamos encontrar o número de pastilhas que precisam ser medidos para que a probabilidade de que a espessura média exceda 11 micrômetros seja 0.01:

P ( X ̄ < 11 ) = 0.01

P X ̄ - μ σ n > 11 - 10 1 n = 0.01

n = 5.42 ≈ 6

Passo 3

Letra c:

Vamos calcular o desvio padrão da espessura para que a probabilidade de que a média de 10 pastilhas seja maior que 11 ou menor que 9 se a espessura média seja de 10 micrômetros:

P ( 9 < X ̄ < 11 ) = 0.001

P 9 - 10 σ 10 < X ̄ - μ σ n < 11 - 10 σ 10 = 0.001

3.162278 σ = 3.2905

σ = 0.961

Resposta

  1. 0.0016
  2. 6
  3. 0.961
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