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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 12.Problemas - 23

Estamos desconfiados de que a média das receitas municipais per capita das cidades pequenas

( 0   –   20.000   h a b i t a n t e s )   é maior do que a das receitas do estado, que é de 1.229 unidades.

Para comprovar ou não essa hipótese, sorteamos dez cidades pequenas, e obtivemos os

seguintes resultados:

1.230; 582; 576; 2.093; 2.621; 1.045; 1.439; 717; 1.838; 1.359.

Obs.: Para facilitar os cálculos, informamos que a soma das observações é 13.500, e a

soma dos quadrados das observações é 22.335.650 (13.5002 = 182.250.000).

(a) Mostre que o teste de hipótese usado, com   α   =   0,05 , levará à aceitação de que a

média das cidades pequenas é igual à do estado.

(b) Você não acha estranha essa conclusão quando observa que a média da amostra

obtida é bem maior do que a média do estado? Como você explicaria isso?

Passo 1

  Vamos definir nossa variável: X = r e c e i t a   p e r   c a p i t a

Do ununciado:

N = 10   c i d a d e s

X - = ∑ x i n = 1350

S 2 = ( ∑ x i 2 - n .   X - 2 ) n - 1 = 456738,89

Considerando que a população tenha distribuição normal.

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Passo 2

  1. Para realizar o teste de hipótese para a média, devemos considerar que a variância populacional é desconhecida, usamo a seguinte aproximação;

T = X - - μ S 2 n ~ t n - 1 ( D i s t r i b u i ç ã o   d e   t - s t u d e n t   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e )

Teste de hipótese: H 0 : μ = 1.229     e     H 1 :   μ > 1.229

Vamos construir nossa Região crítica: R C = t 0 ∈ R   t 0 > t α ; 9

Onde: t 0,0 5 ; 9 = 1,833

Lembrando que na distribuição de t-student, quando temos uma Rc unilateral, p 2 = α = 0,05 → p = 0,1 = 10 %

Portanto nossa região critica fica assim: R C = t 0 > 1,833

Passo 3

Teste sob H 0 :  

t 0 = 1350 - 1229 456738,89 10 = 0,566

Como t 0 = 0,566 não pertence à região critica, não rejeitamos H 0 , e portanto existem evidencias de que a receita média per capita das cidades é igual à receita média do estado.

Resposta

  1. Não rejeitamos H 0 :   μ = 1229 , há evidencias de que a receita média das cidades pequenas seja igual à receita do estado.
  2. Apesar da receita média obtida dos municípios ser maior do que a do estado, ela apresenta uma alta variância, que evidencia a dispersão dos valores obtidos.

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