Enunciado

Em um estudo para comparar os efeitos de duas dietas, A e B , sobre o crescimento,

6 ratos foram submetidos à dieta A , e 9 ratos à dieta B . Após 5 semanas, os ganhos em

peso foram:

  1. Admitindo que temos duas amostras independentes de populações normais, teste a hipótese de que não há diferença entre as duas dietas, contra a alternativa que a dieta A é mais eficaz, usando o teste t de Student, no nível de α   =   0,01 . Calcule α ^ .

Passo 1

Neste problema, vamos testar para o nível de significância de 1 % se há diferenças significativas entre as duas dietas. As hipóteses a serem testadas são:

H 0 :   µ A = µ B

H 1 :   µ A >   µ B

Calculando as médias e os desvios-padrão dos grupos A   e B temos:

x - A ≃ 14,167                           S A = 2,483

x - B ≃ 11,778                         S B = 2,224

Passo 2

Agora, vamos testar se as variâncias são homogêneas, ou seja:

H o :     σ A 2 = σ B 2

H 1 :     σ A 2 ≠ σ B 2

A estatística do teste é encontrada pela seguinte fórmula:

W = S A 2 S B 2 ⇒ w 0 = 2,483 2 2,224 2 = 1,246

Assim, sob H 0 , W ~ F n - 1 , m - 1 ⇒ W ~ F 5,8 .

Tomando α = 1 % , temos que:

R C = ] 0 ; 6,63 - 1   ∪   6,63 ; + ∞ [   ⇒ R C = ] 0 ; 0,151   ∪   6,63 ; + ∞ [

Como w 0 ∉ R C , a hipótese de igualdade de variâncias não deve ser rejeitada.

Passo 3

Vamos realizar o teste de igualdade de médias de duas populações normais com mesma variância, desconhecida. A estatística do teste é encontrada pela fórmula:

T = X A - - X B - S p × 1 n A + 1 n B     ⇒ ( * ) t 0 = 14,167 - 11,778 2,327 × 1 6 + 1 9 = 1,948

* :   S p 2 = n - 1 × S A 2 + m - 1 × S B 2 n + m - 2 = 5 × 2,483 2 + 8 × 2,224 2 6 + 9 - 2 = 5,415 ⇒ S p ≅ 2,327

Logo, sob H 0 , T ~ t n + m - 2 ⇒ T ~ t ( 13 ) .

Tomando α = 1 % e consultando a tabela V , podemos encontrar a região crítica do teste:

R C = ] 2,650 ; + ∞ [

Observe que o valor calculado t 0 não pertence a esta região.

Passo 4

Para calcular uma aproximação para   α ^ , podemos supor que P ( t 13 > 1,9481 ) , e encontrar o valor médio entre P ( t 13 > 1,771 ) e P ( t 13 > 2,160 ) , considerando serem os mais próximos na tabela V .

2 α ^ = 0,1 + 0,05 2 = 0,075 ⇒ α ^ ≅ 0,0375

Resposta

Como t 0 ∉ R C , não há indícios de que a dieta A seja mais eficaz do que a dieta B e α ^ ≅ 0,0375

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