Enunciado

Um estudo foi conduzido pelo Departamento de

Zoologia da Universidade da Virgínia para determinar se

há diferença significativa na densidade dos organismos em

duas estações diferentes localizadas no Cedar Run, um rio

secundário na bacia hidrográfica do rio Roanoke. O esgoto

de uma estação de tratamento e o excesso vindo da bacia

da Federal Mogul Corporation entram no rio secundário

perto de sua cabeceira. Os dados a seguir fornecem as medidas da densidade, em número de organismos por metro

quadrado, nas duas estações de coleta distintas: Podemos concluir que, no nível de significância de

0,05, as médias das densidades são iguais nas duas estações? Assuma que as observações vêm de populações

normais com variâncias diferentes

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo do estudo é testar as densidades médias em duas estações iguais. As médias da amostra para a estação 1 e a estação 2 são:

x ‾ 1   = ∑ i = 1 n     x i n   = 5030 + 13700 + … … + 1130 + 1690 16   = 9897.50 x ‾ 2   = ∑ i = 1 n     x i n   = 2800 + 4670 + … … + 2130 + 2190 12   = 4120.83

Os desvios padrão para a estação 1 e estação 2 são:

s 1 = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 1 2 n - 1   = ( 5030 - 9897.50 ) 2 + … . . + ( 1130 - 9897.50 ) 2 + ( 1690 - 9897.50 ) 2 16 - 1   = 7874.33 s 2 = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2 2 n - 1   = ( 2800 - 4120.83 ) 2 + … … . + ( 2130 - 4120.83 ) 2 + ( 2190 - 4120.83 ) 2 12 - 1   = 2479.50

Nota: Os desvios de standard são variâncias desconhecidas e desiguais, de modo que o teste t de duas amostras para diferença de duas médias é adequado.

Passo 2

Deixe μ 1 e μ 2 represente as médias populacionais das densidades de duas estações. A hipótese nula e alternativa é:

H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 ≠ μ 2

Nível de significância, α = 0.05 A fórmula da estatística de teste é,

T ' = X ‾ 1 - X ‾ 2 - d 0 s 1 2 / n 1 + s 2 2 / n 2

Aqui, s 1 2 , s 2 2 estão os desvios padrão da amostra, são X ‾ 1 , X ‾ 2 médias da amostra e são n 1 , n 2 tamanhos de amostra.

Passo 3

Substitua os valores na fórmula da estatística de teste da seguinte forma:

T '   = X ‾ 1 - X ‾ 2 - d 0 s 1 2 / n 1 + s 2 2 / n 2   = ( 9,897.50 - 4120.83 ) - 0 7874.33 2 16 - 1 + 2479.50 2 12 - 1   = 5776.667 2094.670   = 2.76

Passo 4

O grau de liberdade é,

d f   = s 1 2 / n 1 + s 2 2 / n 2 2 s 1 2 / n 1 2 n 1 - 1 + s 2 2 / n 2 2 n 2 - 1   = 7874.33 2 16 + 2479.50 2 12 2 7874.33 2 16 2 + 2479.50 2 12 2 12 - 1   = 18

Passo 5

Calcular p -valor.

p -   valor     = 2 P T > T '   = 2 P ( T > 2.76 )   = 2 ( = T D I S T ( 2.76,18,1 ) )    [ Usando a funç ão do Excel ,  DIST.T T ' , d f  ]    = 2 ( 0.0064 )   = 0.01280   ≈ 0.013

Passo 6

Regra de decisão: Rejeite H 0 , se p ≤ α de outra forma não rejeitar H o . Aqui, o valor de p ( 0.0130 ) é menor que o nível de significância. Assim, há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula em 5 % nível de significância. Conclusão:Por conseguinte, pode concluir-se que existem elementos de prova suficientes para justificar a rejeição da alegação de que as densidades average nas duas estações são iguais.

Resposta

Resposta nos passos.

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