Enunciado

Em um estudo sobre um novo método para ensinar Matemática a alunos do primeiro

grau, dez crianças foram selecionadas ao acaso de um grupo de 20 e ensinadas pelo

novo método, enquanto as outras dez serviram como controle e ensinadas pelo método

tradicional. Após dez semanas o desempenho dos alunos em um teste foi avaliado e

obtiveram-se as seguintes notas:

Teste, com nível α = 0,05 , a hipótese de que o novo método é mais eficaz, utilizando o

teste t   e o teste Wilcoxon. Obtenha α ^ em cada caso.

Passo 1

Devemos testar:

H 0 : μ N M = μ C

H 0 : μ N M > μ C

Primeiro, vamos encontrar as estatísticas descritivas:

X - N M = 8,15 ; S N M = 1,156                   X - C = 7,25 ; S C = 1,736 .          

Passo 2

Vamos testar se as variâncias são homogêneas, ou seja:

H 0 :   σ N M 2 = σ C 2

H 1 :   σ N M 2 ≠ σ C 2

Observe que:

W 0 = S C 2 S N M 2 = 1,736 2 1,156 2 = 2,255

Sob H 0 , W ~ F 10 - 1,10 - 1 ⇒ W ~ F 9,9 .

Assim, a região crítica do teste, tomando α = 5 % é:

R C = ] 0 ; 4,03 - 1 ∪ 4,03 ; + ∞   =   0 ; 0,248 ∪ 4,03 ; + ∞ [

Como W 0 ∉ R C , não reijeitamos a hipótese de igualdade de variância.

Passo 3

Agora, vamos testar, através do teste t de Student, se as médias são iguais:

T = X N M - - X C - S p × 1 n N M + 1 n C     ⇒ ( * ) t 0 = 8,15 - 7,25 1,475 × 1 10 + 1 10 = 1,364

* :   S p 2 = n - 1 × S N M 2 + m - 1 × S C 2 n + m - 2 = 9 × 1,156 2 + 9 × 1,736 2 10 + 10 - 2 = 2,175 ⇒ S p ≅ 1,475

Sob H 0 , T ~ t 10 + 10 - 2 ⇒ T ~ t ( 18 ) .

Considerando α = 5 % , temos que R C = ] 1,734 ; + ∞ [ .

Como t 0 ∉ R C , não há indícios para concluir que o novo método é mais eficaz.

α ^ = P t 18 > 1,364 ≅ 10 % .

Passo 4

Realizaremos agora o teste de Wilcoxon.

Primeiramente, vamos ordenar da menor para a maior, as observações obtidas no estudo, identificando os postos correspondentes a cada observação.

Observe que, no caso de observação coincidentes ou empates, foram considerados os postos médios.

Calculemos a estatística W S referente à soma dos postos das notas do novo método:

W S = 14,5 + 9,5 + 16 + 17,5 + 19,5 + 6,5 + 4 + 12,5 + 14,5 + 6,5 = 121

Para esta estatística, temos:

E W S = m × N + 1 2 = 10 × 21 2 = 105

V a r W S = m × n × N + 1 12 - m × n 12 × N × N - 1 × ∑ i = 1 e d i 3 - d i  

                      = 10 × 10 × 21 12 - 10 × 10 12 × 20 × 19 × 114 = 172,5  

Vamos calcular a estatística do teste Z :

Z = W S - E W S V a r ( W S ) ⇒ z 0 = 121 - 105 172,5 ≅ 1,218 .

Sob H 0 , Z ~ N 0,1 ,   aproximadamente.

Considerando α = 5 % , temos que a região crítica do teste é dada por R C = ] 1,96 ; + ∞ [ .

Como z 0 ∉ R C , não há indícios para concluir que o novo método seja mais eficaz.

Resposta

Não há indícios para concluir que o novo método seja mais eficaz nem pelo teste t   e nem pelo teste de Wilcoxon.

α ^ = P Z > 1,218 ≅ 11 % .

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