Enunciado

Um experimento realizado para investigar os efeitos de uma nova técnica para desengomar fibras da seda foi descrito no artigo "Some Studies in Degumming of Silk with Organic Acids" ( J . Society of Dyers and Colourists, 1992, p. 79-86). Uma variável de resposta de interesse foi y = perda de peso (%). Os pesquisadores fizeram observações sobre a perda de peso para vários valores de três variáveis independentes: x 1 = temperatura   ∘ C = 90,100,110 ; x 2 = tempo de tratamento (min.) = 30,75,120 ; x 3 = concentração de ácido tartárico ( g / L ) = 0,8 , 16 . Nas análises de regressão, os três valores de cada variável foram codificados como - 1,0 e 1 , respectivamente, gerando os dados a seguir (o valor y 8 = 19,3 foi indicado, mas nosso valor y 8 = 20,3 produziu um resultado de regressão idêntico ao reproduzido nesse artigo)

Um modelo de regressão múltipla com k = 9 previsores - x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = x 1 2 , x 5 = x 2 2 , x 6 = x 3 2 , x 7 = x 1 x 2 , x g = x 1 x 3 , x 9 = x 2 x 3 - foi ajustado aos dados, gerando β ˆ 0 = 21,967 , β ˆ 1 = 2,8125 ,   β ˆ 2 = 1,2750 ,   β ˆ 3 = 3,437 5 , β 4 = - 2,208 , β ˆ 5 = 1,867 , β ˆ 6 = - 4,208 , β ˆ 7 = - 0,975 , β ˆ s = - 3,750 , β ˆ s = - 2,325 , S Q E = 23,379 e R 2 = 0,938

a. Esse modelo indica uma relação útil? Expresse e teste as hipóteses apropriadas usando um nível de significância de 0,01 .

b. O desvio padrão estimado de μ ˆ Y quando x 1 = ⋯ = x 9 = 0 (isto é, quando a temperatura = 100 , tempo = 75 e concentração = 8 ) é 1,248. Calcule um IC de 95 % para a perda de peso esperada em relação aos valores especificados da temperatura, do tempo e da concentração.

c. Calcule um IP de 95 % para um único valor de perda de peso a ser observado em relação aos valores 100 , 75 e 8 de temperatura, tempo e concentração, respectivamente.

d. Ajustando o modelo com apenas x 1 , x 2 e x 3 como previsores, obtemos R 2 = 0,456 e S Q E = 203,82 . Existe uma relação útil entre a perda de peso e pelo menos um dos previsores de segunda ordem x 4 , x 5 , … , x 9 ? Expresse e teste as hipóteses apropriadas.

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Esse modelo indica uma relação útil? Expresse e teste as hipóteses apropriadas usando um nível de significância de 0,01 .

a.

H 0 : β 1 = β 2 = … = β 9 = 0

H a : pelo menos um β i ≠ 0 RR: f ≥ F . 01,9 , 5 = 10.16

f = R 2 / k ( 1 - R 2 / ( n - k - 1 ) = . 93 % / 9 ( 1 - 938 ) / ( s ) = 8.41

Falha ao rejeitar H 0 . O modelo não parece especificar um relacionamento útil.

Passo 2

O desvio padrão estimado de μ ˆ Y quando x 1 = ⋯ = x 9 = 0 (isto é, quando a temperatura = 100 , tempo = 75 e concentração = 8 ) é 1,248. Calcule um IC de 95 % para a perda de peso esperada em relação aos valores especificados da temperatura, do tempo e da concentração.

b. μ ˆ y = 21.967 , t α / 2 , n - ( k + 1 ) = t 025,5 = 2.571 , então a C.I. é 21.967 ± ( 2.571 ) ( 1.248 ) = ( 18.76,25.18 )

Passo 3

Calcule um IP de 95 % para um único valor de perda de peso a ser observado em relação aos valores 100 , 75 e 8 de temperatura, tempo e concentração, respectivamente.

c. s 2 = S S E n - ( k + 1 ) = 23.379 5 = 4.6758 , e a C.I. é 21.967 ± ( 2.571 ) 4.6758 + ( 1.248 ) 2 = ( 15.55,28 . 39 )

Passo 4

Ajustando o modelo com apenas x 1 , x 2 e x 3 como previsores, obtemos R 2 = 0,456 e S Q E = 203,82 . Existe uma relação útil entre a perda de peso e pelo menos um dos previsores de segunda ordem x 4 , x 5 , … , x 9 ? Expresse e teste as hipóteses apropriadas

d .     S S E k = 23.379 , S S E l = 203.82 ,     H 0 : β 4 = β 5 = … = β 9 = 0  

H a : pelo menos um dos acima β i ≠ 0 RR: f ≥ F α , k - l , n - ( k + 1 ) = F . 05,6 , 5 = 4.95

f = ( 203.82 - 23.379 ) / ( 9 - 3 ) ( 23.379 ) / ( 5 ) = 6.43

Rejeite H 0 . Pelo menos um dos preditores de segunda ordem parece útil.

Resposta

a. Falha ao rejeitar H 0 . O modelo não parece especificar um relacionamento útil.

b. ( 18.76 , 25.18 )

c. ( 15.55,28.39 )

d. Rejeite H 0 . Pelo menos um dos preditores de segunda ordem parece útil.

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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