Enunciado

Uma instalação de produção emprega 20 operários no turno diurno, 15 operários no noturno e 10 operários no da madrugada. Um consultor de controle de qualidade deve selecionar 6 desses operários para entrevistas detalhadas. Suponha que a seleção seja feita de tal forma que qualquer grupo específico de 6 operários tenha a mesma possibilidade de ser selecionado que qualquer outro grupo (escolha de 6 nomes sem reposição entre 45).

a) Quantas escolhas contêm 6 operários do turno diurno? Qual é a probabilidade de os 6 operários selecionados serem do turno diurno?

b) Qual é a probabilidade de os 6 operários selecionados serem do mesmo turno?

c) Qual é a probabilidade de pelo menos dois turnos diferentes terem representantes entre os operários selecionados?

d) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos turnos não ter representante na amostra de operários?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos resolver o item a)

Queremos estudar quantas formas existem de se escolher 6 operários do turno diurno, logo teremos uma combinação.

20 6 = 38760   m a n e i r a s

Para estudar a probabilidade precisaremos estudar os casos favoráveis (feito acima) e os casos totais, fazendo isso chegamos em:

P t o d o s   d i u r n o = 20 6 25 0 45 6 = 38760 814506 0 = 0.0048

Passo 2

Show! Vamos adiante. Resolvendo o item b)

Agora queremos a probabilidade que todos os selecionados sejam do mesmo turno.

Vamos estudar esse caso:

Precisamos relacionar os casos favoráveis e os casos totais, por uma razão como em praxe a gente sempre faz.

Assim:

P t o d o s   m e s m o   t u r n o = c a s o s   f a v o r á v e i s c a s o s   t o t a i s

Nós sabemos que os operários serão do período diurno, noturno ou da madrugada, assim teremos três possíveis casos favoráveis.

Numericamente, ficamos com:

P t o d o s   m e s m o   t u r n o = 20 6 25 0 45 6 + 15 6 30 0 45 6 + 10 6 35 0 45 6

Resolvendo essas combinações:

P t o d o s   m e s m o   t u r n o = 0.0048 + 0.0006 + 0.0000 = 0 . 0054

Passo 3

Agora, vamos ao item c)

Nesse item queremos a probabilidade de pelo menos dois turnos diferentes terem representantes entre os operários selecionados. Desse modo, vamos estudar novamente os casos favoráveis sobre os casos totais.

Mas aqui, podemos usar a ideia de complementar, que facilita bastante as nossas contas, da seguinte maneira:

P p e l o   m e n o s   d o i s   t u r n o s = 1 - P ( t o d o s   m e s m o   t u r n o )

E nós já temos esse dado, substituindo, ficamos com:

P p e l o   m e n o s   d o i s   t u r n o s = 1 - 0.0054 = 0.9946

Passo 4

Vamos ao item d)

Queremos saber qual é a probabilidade de pelo menos um dos turnos não ter representante.

Temos três casos possíveis, ou o turno diurno não tem representante. Ou o turno noturno não tem representante. Ou o turno da madrugada não tem representante.

Chamando de A 1 o primeiro caso enunciado, A 2 o segundo caso enunciado, e A 3 o terceiro caso enunciado, vamos calcular P A 1 ∪ A 2 ∪ A 3

Que pode ser reescrito como:

P A 1 + P A 2 + P A 3 - P A 1 ∩ A 2 - P A 1 ∩ A 3 -   P A 1 ∩ A 2 ∩ A 3

Resolvendo numericamente ficamos com:

P A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = 25 6 45 6 + 30 6 45 6 + 35 6 45 6 - 10 6 45 6 - 15 6 45 6 - 20 6 45 6 = 0.2939 - 0.0054 = 0.2885

Resposta

a) 38760   m a n e i r a s ; P t o d o s   d i u r n o = 0.0048

b) P t o d o s   m e s m o   t u r n o = 0.0054

c) P p e l o   m e n o s   d o i s   t u r n o s = 0.9946

d) P A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = 0.2885

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