Enunciado

Um amigo meu vai oferecer um jantar. Sua adega inclui 8 garrafas de zinfandel, 10 de merlot e 12 de cabernet (ele só toma vinho tinto), todos de vinícolas diferentes.

a) Se ele quiser servir 3 garrafas de zinfandel e a ordem para servir for importante, de quantas formas pode fazê-lo?

b) Se forem selecionadas 6 garrafas de vinho aleatoriamente entre as 30 disponíveis para servir, quantas formas há de selecioná-las?

c) Se forem selecionadas 6 garrafas aleatoriamente, de quantas formas será possível selecionar duas garrafas de cada variedade?

d) Se forem selecionadas 6 garrafas aleatoriamente, qual a probabilidade de serem escolhidas duas garrafas de cada variedade?

e) Se forem selecionadas 6 garrafas aleatoriamente, qual a probabilidade de todas serem do mesmo tipo?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos resolver de cara o item a)

No item a) é dito que a ordem importa, então usaremos arranjo, lembrando da fórmula:

A n , k = n ! ( n - k ) !

Substituindo na fórmula os dados que temos ficamos com:

A 8,3 = 8 ! ( 8 - 3 ) ! = 8 7 6 5 ! 5 ! = 336   f o r m a s

Passo 2

Show! Vamos adiante. Resolvendo o item b)

No item b) nós iremos escolher 6 garrafas, dentre 30 disponíveis, logo usaremos combinação.

Lembrando a fórmula de combinação, temos:

C n , k = n ! k ! n - k !

Substituindo os valores do nosso exercício, temos:

C 30,6 = 30 ! 6 ! 30 - 6 ! = 30 29 28 27 26 25 24 ! 6 5 4 3 2 24 ! = 59377 5   f o r m a s

Passo 3

Agora, vamos ao item c)

Nesse item iremos pegar 6 garrafas, 2 de cada variedade, vamos estudar como isso acontece.

Teremos três combinações possíveis, além disso teremos todas essas combinações multiplicadas, pois estamos trabalhando com a conjunção “e”.

Ou seja, ficamos com:

8 2 10 2 12 2 = 83160   f o r m a s

Onde o primeiro termo é referente as garrafas de zinfandel, o segundo é referente as garrafas de merlot e o terceiro termo é referente as garrafas de cabernet.

Passo 4

Vamos ao item d)

Nesse item vamos estudar a probabilidade das combinações encontradas no item anterior.

Assim:

P A = 83160 593775 = 0.14

A parte superior da fração é referente ao item d), e a parte inferior conseguimos no item b) referente aos casos totais.

Passo 5

Por fim, resolvendo o item e)

Nesse item queremos que todas as garrafas escolhidas sejam do mesmo tipo. Ou seja, todas de zinfandel, ou de merlot ou de cabernet.

Estudando a probabilidade de isso acontecer e tratando-se da conjunção “ou”, ficamos com:

8 6 + 10 6 + 12 6 30 6 = 1162 593775 = 0.02

Que trata-se da soma das combinatórias do caso das garrafas serem todas de um determinado tipo.

Resposta

a) 336   f o r m a s

b) 593775   f o r m a s

c) 83160   f o r m a s

d) P A = 0.14

e) P B = 0.02

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