Enunciado

Annie e Alvie combinaram de se encontrar entre 17 e 18 horas para jantar em um restaurante local de comida saudável. Seja X = a hora de chegada de Annie e Y a de Alvie. Suponha que X e Y sejam independentes com distribuição uniforme no intervalo [5, 6].

a. Qual é a fdp conjunta de X e Y ?

b. Qual é a probabilidade de ambos chegarem entre 17h15 e 17h45?

c. Se o primeiro a chegar esperar apenas 10 minutos antes de ir comer em outro lugar, qual é a probabilidade de eles comerem no restaurante de comida saudável? [Sugestão: o evento de interesse é A = { ( x ,   y ) : x - y ≤ 1 / 6 } . ] .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? A função de densidade de probabilidade conjunta é:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x d y = 1

Para cada conjunto adequado A valo o seguinte:

P X , Y ∈ A = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

Sendo assim, bora fazer os cálculos!!!

Passo 2

Para definirmos se duas variáveis são independentes, a seguinte relação tem que ser verdadeira.

f x , y = f X ( x ) ∙ f Y ( y )

No nosso exemplo temos os seguintes valores:

f x ,   y = 0

f X x ∙ f Y y = 1 ∙ 1

Como não são iguais, as variáveis são dependentes.

Logo,

f x ,   y = 1                               5 ≤ x ≤ 6 ; 5 ≤ y ≤ 6 0                                                       c a s o   c o n t r á r i o

Passo 3

As variáveis ​​aleatórias X e Y podem assumir valores entre 55 e 66, o que significa que primeiro precisamos transferir o tempo 5:15 uniformemente no intervalo [5,6] [5,6]. Como 1/4 (0,25) hora é 15 minutos, 5:15 seria representado como 5,25. Da mesma forma, 5:45 seria representado como 5,75 (3/4 horas).

Portanto, a probabilidade é:

P 5,25 ≤ X ≤ 5,75 ; 5,25 ≤ Y ≤ 5,75 = ∫ 5,25 5,75 1 d x ∙ ∫ 5,25 5,75 1 d y

= 0,5 ∙ 0,5

P 5,25 ≤ X ≤ 5,75 ; 5,25 ≤ Y ≤ 5,75 = 0,25

Passo 4

Para cara conjunto adequado A , o seguinte é verdadeiro:

P X , Y ∈ A = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

Logo, temos o seguinte:

P X , Y ∈ A = ∫ ∫ A 1 d x d y = 11 36 = 0,31

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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