Enunciado

Uma loja de comida saudável possui duas marcas diferentes de um certo tipo de grão. Sejam X = quantidade (lb) da marca A em estoque e Y = quantidade da marca B em estoque. Suponha que a fdp conjunta de X e Y seja

f x = k x y                                     x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   20 ≤ x + y ≤ 30 0                                                                                                     c a s o   c o n t r á r i o

a. Desenhe a região de densidade positiva e determine o valor de k .

b. X e Y são independentes? Responda, encontrando primeiro a fdp marginal de cada variável.

c. Calcule P ( X + Y ≤ 25 ) .

d. Qual é a quantidade total esperada desse grão em estoque?

e. Calcule C o v ( X ,   Y ) e C o r r ( X ,   Y ) .

f. Qual é a variância da quantidade total de grão em estoque?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Nessa questão vamos precisar calcular bastante coisa, então, bora deixar de enrolação e irmos para os cálculos!!

Passo 2

A região de densidade positiva é representada por:

Para encontrarmos o valor de k , precisamos definir a fdp sobre a região dada quando 0 ≤ x ≤ 20 e depois quando 20 ≤ x ≤ 30 .

Definindo quando 0 ≤ x ≤ 20 .

∫ 0 20 ∫ 20 - x 30 - x f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 20 ∫ 20 - x 30 - x k x y d y d x

= 125 k x 2 - 10 3 k x 3 0 20

= 70000 3 k

Determinando quando 20 ≤ x ≤ 30 .

∫ 20 30 ∫ 0 30 - x f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 20 ∫ 0 30 - x k x y d y d x

= 225 k x 2 - 10 k x 3 + 1 8 k x 4 20 30

= 3750 k

A integral total da fdp conjunta sobre a região indicada é a soma das integrais que calculamos.

70000 3 k + 3750 k = 81250 3 k

Por fim, a fdp conjunta só é válida se a integral total for igual a 1.

81250 3 k = 1

k = 3 81250

Passo 3

A fdp marginal de X é a integral da fdp conjunta sobre todos os valores possíveis de Y .

Para 0 ≤ x ≤ 20 .

f X x = ∫ 20 - x 30 - x f x , y d y = ∫ 20 - x 30 - x k x y   d y

= k x y 2 2 20 - x 30 - x

= 250 k x - 10 k x 2

Agora, para 20 < x ≤ 30 .

f X x = ∫ 0 30 - x f x , y d y = ∫ 0 30 - x k x y   d y

= k x y 2 2 0 30 - x

= 450 k x - 30 k x 2 + 1 2 k x 3

Logo, temos que a fdp marginal é:

f X x = 250 k x - 10 k x 2                                                       0 ≤ x ≤ 20 450 k x - 30 k x 2 + 1 2 k x 3                       20 < x ≤ 30

A distribuição marginal de Y é a mesma que a distribuição marginal de X , pois, a fdp conjunta não muda quando troca x e y , nem a região.

f Y x = 250 k x - 10 k x 2                                                       0 ≤ x ≤ 20 450 k x - 30 k x 2 + 1 2 k x 3                       20 < x ≤ 30

Portanto, X e Y não são independentes, porque se multiplicarmos as distribuições marginais, não resultará na fdp conjunta.

Passo 4

Determinando a fdp conjunta para quando 0 ≤ x ≤ 20 .

P X + Y ≤ 25   0 ≤ X ≤ 20 ) = ∫ 0 20 ∫ 20 - x 25 - x k x y d y d x

= 225 4 k x 2 - 5 3 k x 3 0 20

= 27500 3 k

Para quando 20 ≤ x ≤ 30 .

P X + Y ≤ 25   20 < X ≤ 30 = ∫ 20 2 5 ∫ 0 25 - x k x y d y d x

= 625 4 k x 2 - 25 3 k x 3 + 1 8 k x 4 20 25

= 10625 24 k

Por fim, a probabilidade total é a soma das duas probabilidades calculadas.

P X + Y ≤ 25   0 ≤ X ≤ 20 ) = 27500 3 k + 10625 24 k = 76875 8 k

P X + Y ≤ 25   0 ≤ X ≤ 20 ) = 76875 8 ∙ 3 81250 = 35,48 %

Passo 5

O valor esperado de X + Y é então integral do produto de todos os valores possíveis ( x + y ) e a fdp conjunta.

Determinando a integral da fdp conjunta para 0 ≤ x ≤ 20 .

∫ 0 20 ∫ 20 - x 30 - x ( x + y ) f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 20 ∫ 20 - x 30 - x k x 2 y + k x y 2 d y d x

= 19000 6 k x 2 - 250 3 k x 3 0 20

= 60 0000 k

Determinando a integral da fdp conjunta para 20 ≤ x ≤ 3 0 .

∫ 20 30 ∫ 0 30 - x ( x + y ) f ( x , y ) d y d x = ∫ 20 30 ∫ 0 30 - x k x 2 y + k x y 2 d y d x

= 4500 k x 2 - 150 k x 3 + 1 30 k x 5 20 30

= 310000 5 k

O valor esperado total é a soma dos dois valores esperados.

E X + Y = 600000 k + 310000 3 k

= 2110000 3 k

E X + Y = 25,9692

Passo 6

Para determinarmos C o v ( X ,   Y ) e C o r r ( X ,   Y ) , precisamos antes encontrar a média, o valor esperado de X Y e a variância. Bora lá!!!

A média:

μ X = E X = ∫ 0 30 x f X ( x ) d x

= ∫ 0 20 250 k x 2 - 10 k x 3 d x + ∫ 20 30 450 k x 2 - 30 k x 3 + 1 2 k x 4 d x

μ X = 1055000 3 k

O valor esperado de X Y .

E X Y = ∫ 0 20 ∫ 20 - x 30 - x x y f ( x , y ) d y d x + ∫ 20 30 ∫ 0 30 - x x y f ( x , y ) d y d x

= ∫ 0 20 ∫ 20 - x 30 - x k x 2 y 2 d y d x + ∫ 20 30 ∫ 0 30 - x k x 2 y 2 d y d x

E X Y = 33250000 9 k

Por fim, a variância é:

σ X 2 = ∫ 0 30 x - 1055000 3 k 2 f X ( x ) d x

= ∫ 0 20 x - 1055000 3 k 2 250 k x - 10 k x 2 d x + ∫ 0 20 x - 1055000 3 k 2 450 k x - 30 k x 2 + 1 2 k x 3 d x

σ X 2 = σ Y 2 = 16625000 3 k - 2226050000000 9 k 2 + 90433281250000000 27 k 3

Agora sim, podemos calcular a covariância e a correlação.

A covariância é o valor esperado de X Y subtraído pelo produto das duas médias.

C o v X , Y = 33250000 9 k - 105500 3 105500 3 k 2

= - 408008 12675

C o v X , Y = - 32,19

E a correlação é a covariância dividida pelo produto dos desvios padrão.

C o r r X , Y = - 408008 12675 16625000 3 k - 2226050000000 9 k 2 + 90433281250000000 27 k 3

= - 102002 114123

C o r r X , Y = - 0,8938

Passo 7

Finalmente, estamos terminando!!!

A variância é o valor esperado do desvio da média. A média foi determinada na parte (d). Este valor esperado pode ser determinado de forma semelhante:

V a r X + Y = ∫ 0 20 ∫ 20 - x 30 - x x + y - 25,9692 2 f ( x , y ) d y d x + ∫ 20 30 ∫ 0 30 - x x + y - 25,9692 2 f ( x , y ) d y d x

= ∫ 0 20 ∫ 20 - x 30 - x x + y - 25,9692 2 k x y d y d x + ∫ 20 30 ∫ 0 30 - x x + y - 25,9692 2 k x y d y d x

= 184056 k + 23141 k

V a r X + Y = 7,6504

Resposta

  1. k = 3 81250
  2. Resolução no passo 3.
  3. P X + Y ≤ 25 = 35,48 %
  4. E X + Y = 25,9692
  5. C o v X , Y = - 32,19                 C o r r X , Y = - 0,8938
  6. V a r X + Y = 7,6504

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