Probabilidade Conjunta – Variáveis Aleatórias Bidimensionais Discretas

Teoria Completa

V.A. BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

E aí, tudo lindo até aqui? Beleza.

Então, vem comigo!

O que a gente faz quando estivermos trabalhando com um experimento que depende de mais de uma característica ?

Porque isso é muito comum, concorda ? Em várias situações a gente se interessa em mais de uma característica de alguma parada.

Por exemplo, suponha que você tá carente, faculdade tá te estressando demais. Probest tá tirando seu sono. Aí você tá afim de começar a namorar.

Bom, na hora de procurar alguém, você não vai querer saber só da quantidade de qualidades que a pessoa tem, você também vai se interessar pela quantidade de defeitos, certo?

Afinal, o melhor dos mundos seria muita qualidade e pouco defeito. Haha ..

Nesse caso, a gente iria ter então uma variável bidimensional ( X , Y ) , com:

X : n ú m e r o   d e   d e f e i t o s

Y : n ú m e r o   d e   q u a l i d a d e s

Agora vamos dar uma viajada aqui pra poder trabalhar com esse exemplo. Vamos supor que num mundo idealizado pela gente agora, as pessoas só possam ter no máximo até 3 qualidades e até 2 defeitos.

Na nossa idealização.

X → 0,1 , 2

Y → 0,1 , 2,3

E se eu quisesse a probabilidade de uma pessoa ter 2 qualidades e nenhum defeito, eu iria ter:

P X = 0 , Y = 2 =   ?

Obs: essa será a notação usada pra variáveis bidimensionais. Podemos escrever de uma forma mais matemática e abrangente;

P ( X = x i , Y = y i )

x i e y i são os possíveis valores de X e Y .

distribuições marginais e condicionais

Tá, ainda no nosso mundo idealizado, vamos considerar que alguém fez um levantamento de todas as combinações possíveis entre X e Y .

O melhor jeito de organizar dados de variáveis bidimensionais é usando uma tabela como a abaixo.

Então, por exemplo:

Prob. de alguém ter 2 defeitos e 2 qualidades: → P X = 2 , Y = 2 = 0,20 .

É só cruzar na tabela o valor de X e Y que você quer.

Prob. de alguém ter 3 qualidades e nenhum defeito: → P X = 0 , Y = 3 = 0,01 .

Nota: para os mais românticos, percebeu como é difícil alguém perfeito? haha...

Tá, mas o que que seria distribuição marginal ?

Tá vendo a última linha e a última coluna ? Onde tá escrito P ( X = x i ) e P ( Y = y i ) .

Elas representam a distribuição marginal, porque elas definem a distribuição individual de cada característica.

Traduzindo...

P X = x i nos diz os valores totais da probabilidade de X assumir cada um de seus valores possíveis. Então, por exemplo:

  • P X = 0 = 0,10 → é a probabilidade total de uma pessoa ter nenhum defeito, tendo 0,1,2 ou 3 qualidades.
  • P X = 1 = 0,30 e P X = 2 = 0,60 .
  • O mesmo raciocínio serve pra característica Y .

Obs: Repara no ultimo quadrado do canto direito embaixo. Ele sempre tem que ser 1, porque ele representa a probabilidade total de X e Y , que é 1.

Beleza, e se agora eu quisesse saber a probabilidade de uma pessoa ter 3 qualidades sabendo que ela tem 2 defeitos ?

Pelo que eu perguntei tu já deve sacar que vai ser uma probabilidade condicional. Certo ?

P Y = 3     X = 2 ) =   ?

O raciocínio e a fórmula são as mesmas.

P Y = 3     X = 2 ) = P Y = 3 , X = 2 P X = 2

E rapaz! E agora ? Agora é tranquilinho.

Esa interseção que a gente tem ali P ( Y = 3 , X = 2 ) é a probabilidade da pessoa ter dois defeitos e três qualidades ao mesmo tempo. E essa probabilidade tá na nossa tabela marota.

É o valor do cruzamento da linha X = 2 com a coluna Y = 3 → P Y = 3 , X = 2 = 0,20 .

E a probabilidade P ( X = 2 ) tá na nossa distribuição marginal, é o valor final da linha do X = 2 → P X = 2 = 0,60

INDEPENDÊNCIA

Cara, parada é a seguinte. Tá ligado naquela fórmula pra ver a independência entre eventos ?

Se A e B são eventos independentes, então:

P A ∩ B = P ( A ) × P ( B )

Lembrou ? Beleza!

Como que isso vai funcionar pra variáveis bidimensionais ? Como que eu vou saber se as duas características que eu to avaliando são independentes ?

Do mesmo jeito, é só adaptar a fórmula.

Se X e Y são independentes, então:

P X = x i , Y = y i = P X = x i × P Y = y i

Então por exemplo, se P X = 1 , Y = 0 = P ( X = 1 ) × P ( Y = 0 ) então X e Y são independentes? NÃO.

Você tem que tentar todas as combinações possíveis, porque se isso não valer pra 1 caso então já não são independentes.

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Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 206-01

Lançam-se, simultaneamente, uma moeda e um dado.

a) Determine o espaço amostral correspondente a esse experimento.

b) Obtenha a tabela da distribuição conjunta, considerando X o número de caras no lançamento da moeda e Y o número da face do dado.

d) Calcule:

  1. P X = 1
  2. P X ≤ 1
  3. P X < 1
  4. P(X=2,Y=3)
  5. P ( X ≥ 0 , Y ≤ 4 )
  6. P ( X = 0 , Y ≥ 1 )
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Passo 1

Queremos o espaço amostral ( Ω ) . Vamos olhar separadamente:

  • Moeda: Ω M = K , C
  • Dado: Ω D = { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

Portanto o espaço amostral são as possibilidades de combinação desses dois outros conjuntos correto?

Ω = { K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 , K 6 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 }

Passo 2

Queremos montar a tabela agora considerando X o número de caras (K) no lançamento da moeda e Y o número da face do dado:

Analisando X:

Analisando Y:

Passo 3

Montando a tabela teremos:

Passo 4

d) Vamos calcular algumas probabilidades:

  1. P X = 1
  2. Como X é o número de caras no lançamento do dado, queremos a probabilidade de obter uma cara ou seja

    P X = 1 = 1 2

  3. P ( X ≤ 1 )
  4. Como X é o número de caras no lançamento do dado, queremos a probabilidade de dois casos: X = 0 → N ã o   s a i r   c a r a ,   s a i r   c o r o a ou X = 1 → S a i r   c a r a .Ou seja, estamos falando das duas possíveis ocorrências ao lançar uma moeda, portanto:

    P X ≤ 1 = 1

  5. P ( X < 1 )
  6. Como X é o número de caras no lançamento do dado, queremos a probabilidade de X < 1 ou seja de X = 0 → n ã o   s a i r   c a r a .

    P X < 1 = P X = 0 = 1 2

  7. P ( X = 2 , Y = 3 )
  8. Opa! Ele quer saber a probabilidade de X = 2 ! Mas isso não existe certo? Afinal lançamos a moeda apenas uma vez, não é possível obter duas caras!

    P X = 2 , Y = 3 = 0

  9. P ( X ≥ 0 , Y ≤ 4 )
  10. Primeira coisa que devemos olhar são quais eventos estão aí dentro:

    - P X ≥ 0 → P X = 0   e   P X = 1 → t o d a s   a s   p o s s i b i l i d a d e s

    - P Y ≤ 4 → P Y = 1 ,   P Y = 2 , P Y = 3   e   P ( Y = 4 )

    Então queremos

    P X = 0 , Y = 1 +   P X = 0 , Y = 2 + P X = 0 , Y = 3 +   P X = 0 , Y = 4 + P X = 1 , Y = 1 +   P X = 1 , Y = 2 + P X = 1 , Y = 3 +   P ( X = 1 , Y = 4 )

    Pela tabela é fácil localizar cada um desses termos, ex:

    P X = 0 , Y = 1 → 2 º   t e r m o   d a   2 ª   c o l u n a → 1 12

    Assim

    P X ≥ 0 , Y ≤ 4 = 8 × 1 12 = 2 3

  11. P ( X = 0 , Y ≥ 1 )

Agora vamos olhar apenas para os casos onde X = 0 e Y ≥ 1 .

Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior teremos:

P X = 0 , Y ≥ 1 = P X = 0 , Y = 1 +   P X = 0 , Y = 2 + P X = 0 , Y = 3 +   P X = 0 , Y = 4 + P X = 0 , Y = 5 + P X = 0 , Y = 6 =

Pela tabela novamente localizamos esses termos, assim:

P X = 0 , Y ≥ 1 = 6 × 1 12 = 6 12 = 1 2

Resposta

a) Ω = { K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 , K 6 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 }

b)

d)

  1. 1 2
  2. 1
  3. 1 2
  4. 0
  5. 2 3
  6. 1 2

Exercício Resolvido #2

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 210 - 08

Numa urna têm-se cinco bolas marcadas com os seguintes números: -1, 0, 0, 0, 1. Retiram-se três bolas, simultaneamente: X indica a soma dos números extraídos e Y o maior valor da trinca. Calcule:

a) A função de probabilidade de (X,Y).

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Passo 1

A primeira coisa que iremos fazer é montar a tabela de distribuição tanto de X quanto de Y.

  • X: Indica a soma dos números extraídos:
  • Extraímos 3 bolas simultaneamente, portanto temos

    5 3 = 5 ! 3 ! 2 ! = 10   p o s s i b i l i d a d e s

    Nosso espaço amostral será:

    Passo 2

  • Y: O maior valor da trinca

Assim a tabela será:

Passo 2

Montando a tabela então teremos:

Para preencher o meio da tabela vamos olhar novamente para o espaço amostral:

Assim temos que:

P X = - 1 ,   Y = 0 = 3 10 = 0,3

P X = 0 ,   Y = 0 = 1 10 = 0,1

P X = 1 , Y = 0 = 0

P X = - 1 , Y = 1 = 0

P X = 0 , Y = 1 = 3 10 = 0,3

P X = 1 , Y = 1 = 3 10 = 0,3  

Completando a tabela teremos:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 210 - 07

Numa urna têm-se cinco tiras de papel, numeradas 1,3,5,5,7. Uma tira é sorteada e recolocada na urna, então uma segunda tira é sorteadas. Sejam X 1   e   X 2 o primeiro e o segundo números sorteados.

a) Determine a distribuição X 1   e   X 2

b) Obtenha as distribuições marginais de X 1   e   X 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Determine a distribuição X 1   e   X 2

O primeiro passo é determinar o espaço amostral. Pelo enunciado temos um caso de retirada de urna, com reposição, portanto teremos:

Ω =

{ 1,1 ; 1,3 ; 1,5 ; 1,7 ; 3,1 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,7 ; 5,1 ; 5,3 ; 5,5 ; 5,7 ; 7,1 ; 7,3 ; 7,5 ; 7,7 }

Passo 2

Analisando apenas a probabilidade da primeira retirada ( X 1 ) :

Como temos 5 possibilidades (1,3,5,5,7) podemos afirmar que

P X = 1 = P X = 3 = P X = 5 = P X = 7 = 1 5

Como temos duas tiras de papela do número cinco temos

P X = x = 2 5

Montando a tabela de distribuição marginal de X 1 .

Passo 3

Analisando apenas a probabilidade da segunda retirada ( X 2 ) :

Como temos 5 possibilidades (1,3,5,5,7), pois temos a reposição, podemos afirmar que

P X = 1 = P X = 3 = P X = 5 = P X = 7 = 1 5

Como temos duas tiras de papela do número cinco temos

P X = x = 2 5

Montando a tabela de distribuição marginal de X 2 .

Passo 4

Montando a tabela de distribuição de X 1   e   X 2 .

As distribuições marginais estão na última linha e na última coluna. Montamos a tabela de distribuição dos dois só para mostrar mesmo que elas SEMPRE vão aparecer e estar nas extremidades

Resposta

Exercício Resolvido #4

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 206-03

Considere a distribuição conjunta de X e Y, parcialmente conhecida, dada na tabela abaixo.

a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.

b) Obtenha as distribuições condicionais de X, dado que Y=0, e de Y, dado que X=1.

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Passo 1

Primero passo é dar nome aos bois hehehe. Ou seja, vamos colocar em cada espaço vazio uma icognita.

A partir daí é só ir com calma e lembrar que a soma de uma linha/coluna tem que ser igual ao último valor da mesma

  • 2ª coluna:
  • 1 12 + d + 1 4 = i → i = 4 12 + d → i = 1 3 + d  

    Como eles são independentes, sabemos que

    i × 1 3 = d → i 3 = d → i = 3 d

    Substituindo na equação anterior teremos:

    3 d = 1 3 + d → 3 d - d = 1 3 → 2 d = 1 3 → d = 1 6

    Assim

    i = 3 d → i = 3 × 1 6 → i = 1 2

  • 2ª linha com 2ª coluna:
  • Podemos calcular c, pois por serem independentes sabemos que:

    i × c = 1 12 → 1 2 × c = 1 12 → c = 1 6

  • 5ª coluna:
  • Sabemos que a soma da 5ª coluna deve ser igual a 1, portanto

    c + 1 3 + h = 1 → 1 6 + 1 3 + h = 1 → h = 1 - 3 6 → h = 1 2

  • 4ª linha com 4ª coluna:
  • Podemos calcular k por serem independentes. Teremos:

    h × k = 1 4 → 1 2 × k = 1 4 → k = 1 2

  • 5ª linha
  • Sabemos que a soma da última linha deve ser igual a 1, portanto

    i + j + k = 1 → 1 2 + j + 1 2 = 1 → j = 0

  • 3ª coluna
  • Como descobrimos que j = 0 e sabemos que os eventos são independentes, teremos que:

    a = e = g = 0

  • 3ª linha com 4ª coluna
  • Por eles serem independentes podemos afirmar que:

    k × 1 3 = f → 1 2 × 1 3 = f → f = 1 6

  • 2ª linha com 4ª coluna

Por eles serem independentes podemos afirmar que:

k × c = b → 1 2 × 1 6 = b → b = 1 12

Substituindo na tabela teremos:

Passo 2

Para calcularmos a condicional precisamos lembrar da formulinha da probabilidade condicional. Vocês lembram?

P A B = P A ∩ B P B

Bom, sabemos na tabela que as probabilidades marginais representam a probabilidade de cada variável aleatória em um certo ponto, enquando os outros componentes das tabelas são das probabilidade conjuntas, da interseção.

Quando pedimos a distribuição condicional de X dado que Y=0 queremos:

P X = - 1 Y = 0

P X = 0 Y = 0

P X = 1 Y = 0

Simbora pras contas então?

  1. P X = - 1 Y = 0
  2. P X = - 1 Y = 0 = P X = - 1 , Y = 0 P Y = 0

    Olhando a tabela sabemos que P X = - 1 , Y = 0 = 1 6 , portanto

    P X = - 1 Y = 0 = P X = - 1 , Y = 0 P Y = 0 = 1 6 1 3 = 1 2

  3. P X = 0 Y = 0
  4. P X = 0 Y = 0 = P X = 0 , Y = 0 P Y = 0

    Olhando a tabela sabemos que P ( X = 0 , Y = 0 ) = 0 , portanto

    P X = 0 Y = 0 = P X = 0 , Y = 0 P Y = 0 = 0

  5. P X = 1 Y = 0

P X = 1 Y = 0 = P X = 1 , Y = 0 P Y = 0

Olhando a tabela sabemos que P X = 1 , Y = 0 = 1 6 , portanto

P X = 1 Y = 0 = P X = 1 , Y = 0 P Y = 0 = 1 6 1 3 = 1 2

Montando uma tabela teríamos:

Passo 3

Faremos o mesmo passo a passo para saber outra probabilidade condicional.

Dessa vez queremos saber a probabilidade condicional de Y dado X = 1 . Queremos:

P Y = - 1 X = 1

P Y = 0 X = 1

P Y = 1 X = 1