Enunciado

À medida que a população envelhece, há uma preocupação crescente com relação às lesões relacionadas a acidentes na velhice. O artigo "Age and Gender Differences in Single-Step Recovery from a Forward Fall" (J. of Gerontology, 1999, p. M44-M50) relatou um experimento em que o ângulo de inclinação máximo – o mais afastado que uma pessoa é capaz de se inclinar e ainda voltar ao estado normal em uma etapa – foi determinado para uma amostra de mulheres jovens (21-29 anos) e uma amostra de mulheres idosas (67-81 anos). As observações a seguir são consistentes com os dados resumidos fornecidos no artigo: MJ: 29, 34, 33, 27, 28, 32, 31, 34, 32, 27 MI: 18, 15, 23, 13, 12 Os dados sugerem que o ângulo de inclinação máximo médio real das mulheres idosas é mais que 10 graus menor que o das mulheres jovens? Determine e teste as hipóteses relevantes no nível de significância 0,10, obtendo um valor P

Passo 1

Temos que m=10 e n=5 são tamanhos de amostra, e que X 1 ,   … ,   X m são variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média μ 1 e desvio padrão, σ 1 , ambos desconhecidos (estes representam o ângulo máximo de inclinação para mulheres mais jovens).

Também nos é dado que Y 1 , … , Y n são variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média μ 2 e desvio padrão σ 2 , ambos desconhecidos (estes representam o ângulo máximo de inclinação para mulheres mais velhas).

Além disso, X e Y são amostras independentes (portanto, todos os X i ' s são independentes de todos os Y j ' s ).

Queremos testar:

H 0 :   μ 1 - μ 2 = 10

H a :   μ 1 - μ 2 > 10

no nível de significância α = 0 . 10 .

Passo 2

Primeiro precisamos verificar a suposição de normalidade para ambas as amostras, e para isso vamos desenhar um gráfico de probabilidade normal.

Este gráfico plota as observações ordenadas versus os quantis normais, que são na verdade valores x i = Φ - 1 i n + 1 , para todo i∈{1,2,…,n}, onde Φ é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal padrão, Φ sua função inversa.

Usamos o software estatístico R para desenhar o gráfico de probabilidade normal. Por exemplo, o comando

qqnorm(x)

irá desenhar o gráfico desejado, que é mostrado na imagem abaixo.

Os dois gráficos mostram retidão, exceto por uma ligeira curvatura em suas caudas. No entanto, o desvio não parece grande o suficiente para que possamos rejeitar a hipótese de normalidade (também, os tamanhos das amostras são muito pequenos para poder rejeitar essa hipótese com alguma confiança).

Em outras palavras, podemos assumir que nossas amostras são distribuídas aproximadamente normalmente.

Aqui está o gráfico:

Passo 3

A estatística de teste usada para testar as hipóteses acima é

T = X - - Y - - ( μ 1 - μ 2 ) S 1 ² m + S 2 ² n

que, sob a hipótese nula, segue a distribuição t com ν graus de liberdade, onde ν é calculado como

v = S 1 2 m + S 2 2 n 2 S 1 2 m 2 m - 1 + S 2 2 n 2 n - 1

As médias amostrais podem ser calculadas como

X - = 1 m ∙ ∑ i = 1 m X i = 307 10 = 30.7   e   Y - = 1 m ∙ ∑ i = 1 n Y i = 81 5 = 16.2

Os desvios padrão da amostra são então

E

Assim, o número de graus de liberdade ν é

Então, substituindo todos os valores, X - = 30.7 ,   Y - = 16.2 ,   S 1 = 2.751 ,   S 2 = 4.438 ,   m = 10 ,   n = 5   e   ∆ 0 =   μ 1 -   μ 2 = 10 (este é o valor nulo, ou seja, o valor assumido na hipótese nula) na fórmula acima produz o valor da estatística de teste:

Como o teste é de cauda superior, então o valor P desse teste é

P - v a l o r = P T v   ≥ t = P T 5 ≥ 2.077

onde t denota o valor observado da estatística de teste.

Para encontrar aproximadamente este valor de P, consultamos a tabela A.5 nas Tabelas do Apêndice. Na linha rotulada ν = 5 (esses são os graus de liberdade), encontramos os dois valores mais próximos de t=2.077. Os dois valores t 0.05,5 = 2.015 e t 0.025,5 = 2.571 , e t = 2.077 é entre esses dois valores, o que significa que P T 5   ≥ 2.077 é entre 0.025 e 0.05, então podemos concluir que

0.025 < V a l o r   P < 0.05

Para encontrar o valor exato de PP, podemos usar algum software. Uma linha

1   -   p t ( 2,077 ,   d f = 5 )

no software estatístico R relatará o valor P, que acaba sendo

V a l o r   P = 0 . 0462

Como o valor PP deste teste é menor que nosso nível de significância α=0.10, então podemos rejeitar a hipótese nula a favor da hipótese alternativa, e concluímos que o ângulo de inclinação máximo médio da população verdadeira é mais de 10 graus menor para mulheres mais velhas do que para mulheres mais jovens

Resposta

O valor da estatística de teste é T=2.077 com o valor PP de 0.0462, então podemos rejeitar a hipótese nula

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os seguintes valores percentuais: chi^2_0.05 , 10 , chi^2_0.025 , 15 , chi^2_0.01 , 12 , chi^2_0.95 , 20 , chi^2_0.99 , 18 , chi^2_0.995 , 16 e chi^2_0.005 , 25 .
Um rebite deve ser inserido em um orifício. Uma amostra aleatória de n =15 peças é selecionada e o diÂmetro do orifício é medido. O desvio padrão das medidas do diâmetro do orifício é s=0.008 milímetr
A porcentagem de titânio em uma liga usada na produção de aeronaves na medida em 51 peças selecionadas aleatoriamente. O desvio padrão amostral é s = 0. 37. Construa o intervalo bilateral de confiança
Suponha que n componentes sejam ligados em série. A seguir, k dessas conexões em série são ligadas em paralelo para formar um sistema completo. (Veja a Fig. 11.10.) Se todos os componentes tiverem a m
Suponha que k componentes sejam ligados em paralelo. Em seguida, n dessas conexões em paralelo são ligadas em série, formando um único sistema. (Veja a Fig. 11.11.) Determine a expressão da confiabili