Enunciado

O nível de colesterol X em garotos de 14 anos tem distribuição normal com média 170 e desvio-padrão de 30.

(a) Determine a probabilidade de que o nível de colesterol de um garoto de 14 anos selecionado aleatoriamente exceda 230.

(b) Em uma escola de ensino médio há 300 meninos com 14 anos de idade. Determine a probabilidade de que pelo menos oito garotos tenham nível de colesterol que exceda 230.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Primeiro, vamos organizar as informações do enunciado.

A variável aleatória X representa o nível de colesterol em garotos de 14 anos de idade.

Sendo assim, X tem distribuição normal com média 170 e desvio padrão 30.

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade de o colesterol de um garoto de 14 anos exceder x = 230 .

z = x - μ σ = 230 - 1 70 30 = 2

Sendo assim, a probabilidade é:

P X > 230 = P Z > 2

= 1 - P Z ≤ 2

= 1 - 0 , 9772

P X > 2 = 0 , 0228

Passo 3

O número de garotos é n = 3 00 .

Nós vamos considerar o colesterol exceder 230 como sucesso, então, a probabilidade de sucesso é p = 0 , 0228 .

Usaremos X para representar o número de garotos com colesterol acima de 230, entre os 300 garotos do ensino médio.

Sendo assim, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 3 00 e p = 0 , 0228 .

A média da distribuição binomial é:

μ = n p = 3 00 0 , 0228 = 6,84

E o desvio padrão é definido por:

σ = n p 1 - p = 3 00 0 , 0228 1 - 0 , 0228 = 2,58

Como queremos a probabilidade de que pelo menos 8 meninos tenham o colesterol acima de 230. Então, queremos a área a direita de x = 7,5 .

z = x - μ σ = 7,5 - 6,84 2,58 = 0,26

Logo, a probabilidade é:

P X ≥ 7,5 = 1 - P ( X < 7,5 )

= 1 - P Z < 0,26

= 1 - 0,6026

P X ≥ 7,5 = 0,3974

Resposta

a) 0,0228

b) 0,3974

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