Enunciado

Uma norma que exige a instalação de um detector de fumaça em todas as casas construídas anteriormente está em vigor há um ano em certa cidade. O corpo de bombeiros está preocupado porque muitas casas continuam sem detectores. Seja p proporção real de casas que possuem detectores e suponha que uma amostra aleatória de 25 lares seja inspecionada. Se a amostra indica fortemente que pouco menos de 80% de todas as casas possuem detector, o corpo de bombeiros fará uma campanha por um programa de inspeção obrigatória. Por causa do custo do programa, o corpo de bombeiros prefere não pedir essas inspeções a menos que a amostra renda evidências fortes que comprovem sua necessidade. Seja X o número de casas com detectores entre as 25 da amostra. Considere rejeitar a hipótese de p 0,8 se x 15. a. Qual é a probabilidade de a hipótese ser rejeitada se o valor real de p for 0,8? b. Qual é a probabilidade de não rejeitar a hipótese quando p 0,7? Quando p 0,6? c. Como as “probabilidades de erro” das partes (a) e (b) mudam se o valor 15 na regra de decisão for alterado para 14

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

X = n ú m e r o   d e   c a s a s   c o m   d e t e c t o r   d e   i n c ê n d i o .

Sabemos que menos de 80% das casas possuem detector. No entanto, rejeitamos a reivindicação em alguns casos (dados no exercício).

Podemos notar que X tem Distribuição Binomial com parâmetros n=25 e p, onde p é realmente desconhecido. Portanto

X ~ B i n ( 25 , p )

  1. R = r e j e i t a n d o   r e i v i n d i c a ç ã o   q u a n d o   p = 0,8 .
  2. Sabemos que rejeitamos a afirmação quando x≤15, então precisamos calcular a probabilidade de que X≤15 quando p=0.8, portanto

    P R = P   X   ≤ 15   e   p = 0.8 = B 15 ; 25 ,   0.8 = 0.017 ;

    Função de densidade cumulativa cdf da variável aleatória binomial X com parâmetros n e p é

    B x ; n ,   p = P   X   ≤ x =   ∑ y = 0 x b y ;   n ,   p ,   x = 0,1 , … ,   n

    Passo 2

  3. N = n ã o   r e j e i t a r   r e i v i n d i c a ç ã o   q u a n d o   p = 0,7
  4. Sabemos que rejeitamos a afirmação quando x≤15, então precisamos calcular a probabilidade de X>15 quando p=0.7, portanto

    P N = P   X > 15   e   p = 0.7 = 1 - B 15 ; 25 ,   0.7

    = 1 - 0.189

    = 0.811 ;

    Da mesma forma, quando p=0.6, temos

    P N = P   X > 15   e   p = 0.6 = 1 - B 15 ; 25 ,   0.6

    = 1 - 0.575

    = 0.425 ;

  5. Calculamos tudo da mesma forma, apenas em vez de "15" temos "14", portanto, o seguinte é verdadeiro:

Para p=0.8

P R = P     X   ≤ 14   e   p = 0.8 = B 14 ; 25 ,   0.8 = 0.006

onde, como mencionamos, a probabilidade é calculada da mesma forma que em (a)! Podemos notar que 0.006

Para p = 0.7

P N = P   X > 14   e   p = 0.7 = 1 - - B 14 ; 25 ,   0.7

= 1 - 0.098

= 0.902 ;

que é maior do que tínhamos antes – 0.881. Além disso, para p=0.6 o seguinte é verdadeiro

P N = P   X > 14   e   p = 0.6 = 1 - B 14 ; 25,0.6

= 1 - 0.414

= 0.586 ;

onde podemos notar que 0.586   >   0.424 . Portanto, ambas as probabilidades são maiores do que antes.

Mudando o 15 para 14, é mais provável que não rejeitemos a afirmação verdadeira quando ela é realmente falsa − quando p é realmente menor que 0.8. Além disso, é menos provável que rejeitemos a afirmação quando ela é realmente verdadeira (quando pp é maior ou igual a 0.8).

Resposta

  1. P R = 0.017
  2. P N = 0.811
  3. P R = 0.006 < 0.017

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