Enunciado

Se um aluno conhece bem 70% da matéria dada, num exame constituído de 10 questões, escolhidas ao acaso sobre toda a matéria dada, que probabilidade tem de:

  1. Errar exatamente 6 questões;
  2. Acertar pelo menos 6 questões.

Passo 1

Oiii pessoal, tudo bem com vocês? Vamos exercitar a mente e fazer mais um exercício?

De acordo com o conceito de Distribuição Binominal:

Seja uma experiência aleatória que pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições, na qual só podem ocorrer duas alternativas em cada prova: realização de um evento E (quando dizemos que houve sucesso), ou a não realização desse evento E (quando dizemos que houve insucesso). Suponhamos que essas n provas sejam independentes e que, em cada prova, as probabilidades de obter sucesso (p) e de obter insucesso (q) sejam constantes. Portanto:

P ( E ) = p

P ( E - ) = q = 1 - p

Consideramos agora o número de vezes (X) em que o evento E ocorre nas n provas independentes e então o número de vezes em que o evento E   (não ocorre E) será ( n - X ) . Considerando X como variável aleatória, temos então definida a distribuição Binomial.

Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucesso é:

P ( x )   =     C n , x ⋅ p x   ⋅ ( 1 - p ) n - x  

No item a) temos que:

  • X = 6 (errar exatamente 6 questões)
  • p = 30 % = 0,3 (pois a probabilidade de acerto é de 70% então de erro é de 30%)
  • n = 10 (total de questões)

Lembremos, da Análise Combinatória, que:

  C n , x =   n ! x ! ( n - x ) !

Portanto:

P x = 6 = 10 ! 6 ! ( 10 - 6 ) ! ⋅   0,3 6   ⋅   ( 1 - 0,3 ) 10 - 6 = 0,0367 = 3,67 %

Passo 2

No item b) temos:

  • X ≥ 6 (acertar pelo menos 6 questões)
  • p = 70 % = 0,7 (probabilidade de acerto
  • n = 10 (total de questões)

P x ≥ 6 = P x = 6 +   P x = 7 + P x = 8 +   P x = 9 + P ( x = 10 )

P x ≥ 6 =   10 ! 6 ! 10 - 6 ! ⋅   0,7 6   ⋅   1 - 0,7 10 - 6 + 10 ! 7 ! 10 - 7 ! ⋅   0,7 7   ⋅   1 - 0,7 10 - 7 + 10 ! 8 ! 10 - 8 ! ⋅   0,7 8 ⋅   1 - 0,7 10 - 8 + 10 ! 9 ! 10 - 9 ! ⋅   0,7 9   ⋅   1 - 0,7 10 - 9 + 10 ! 10 ! 10 - 10 ! ⋅   0,7 106   ⋅   1 - 0,7 10 - 10

P x ≥ 6 = 0,2 + 0,267 + 0,233 + 0,121 + 0,028 = 0,849 = 84,9 %

Espero ter ajudado pessoal.

Resposta

  1. 3,67%
  2. 84,9%

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