Enunciado

Uma pessoa paga K cruzeiros cada vez que joga um dado, e recebe tantos cruzeiros quantos pontos obteve. Qual o valor de K para o qual a esperança matemática do lucro é nula? Qual o desvio padrão da distribuição do lucro?

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos começar relembrando algumas teoriazinhas? Então vamos lá!

Uma variável aleatória é sempre associada a seus resultados mutuamente exclusivos a probabilidade. E a variável aleatória é dita discreta quando pode assumir um número finito de valores dentro de um intervalo finito.

A distribuição de probabilidades é uma série de eventos mutuamente exclusivos E i que constituem a totalidade dos resultados numa experiência aleatória, isto é:

∑ E i = S

A cada evento E i , associamos um número real X i , e teremos como consequência que:

∑ P ( X i ) = S

E sabemos que a média de distribuição ( μ ( x ) ), da variável X , é a soma dos produtos dos valores da variável X pelas respectivas probabilidades, isto é:

μ X = ∑ [ X i ∙ P ( X i ) ]

E o desvio padrão pela seguinte equação:

σ X = ∑ [ X i - μ 2 ∙ P X i ]

Passo 2

Então, vamos lá para o nosso exercício. Considerando que:

  • X i = lucro;
  • P X i = 1 / 6 .

Teremos a seguinte Tabela:

Então a esperança matemática será:

E X = 0

21 - 6 ∙ K ∙ 1 6 = 0

21 6 - K = 0 → K = C r $   3,50

Passo 3

Com o valor de K conseguimos calcular o desvio padrão:

σ = K 2 - 7 ∙ K + 91 6 = 3,5 2 - 7 ∙ 3,5 + 91 6 = 2,92

σ = 1,71   p o n t o s

Até mais galerinha!

Resposta

K = C r $   3,50 ;

σ = C r $   1,71   p o n t o s .

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