Enunciado

Uma pessoa tem 8 amigos, dos quais 5 serão convidados para uma festa.

(a) Quantas escolhas existem se dois dos amigos estiverem brigados e por esse motivo não puderem comparecer?

(b) Quantas escolhas existem se dois dos amigos puderem ir apenas se forem juntos?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver como não escolher os convidados para uma festa.

Aqui temos 8 pessoas para formar um grupo de 5 pessoas utilizando algumas restrições. Vamos utilizar o método destrutivo para calcular as possibilidades de cada uma das restrições.

Para isso vamos utilizar a formula da combinação, que pode ser descrita pela expressão:

C n , p = n p = n ! n - p ! p !

Essa formula nos dá a quantidade de diferentes grupos são possíveis formar com n pessoas, com p integrantes cada.

Passo 2

O método destrutivo se baseia em calcularmos todas as possibilidades sem aplicar as restrições envolvidas e depois calcular quantas destas possibilidades com a restrição e subtrair estas do total.

Para escolhermos 5 pessoas dentre as 8 no total, podemos utilizar a combinação.

8 5 = 8 ! 5 ! 3 ! = 56

E este é a quantidade de diferentes formas de se fazer este grupo de 5 pessoas.

Passo 3

a) Agora vamos calcular quantos casos existem com os dois amigos que já estão brigados como convidados pré-escolhidos. Assim já estaria definido duas pessoas, e sobrariam 3 outros dentre os 6 restantes para serem escolhidos como o terceiro homem, ou seja, 6 3 formas de escolher essas 3 pessoas restantes.

Então quando pegamos o numero total de possibilidades e subtraímos pelo numero de possibilidades que fazem parte da restrição, então teremos a quantidade de casos que queríamos inicialmente:

8 5 - 6 3 = 36

Há, portanto, 36 formas de se escolher os convidados sem convidar os 2 que estão brigados.

Passo 4

b) vamos calcular quantos casos existem com estes dois amigos juntos, como duas já foram escolhidas, resta apenas 3 dentre as 6 restantes para serem escolhidas.

Essa pessoa pode ser escolhida de 6 3 formas.

Ou pode ser que nenhum dos dois seriam escolhidos, sobrando 6 pessoas para escolhermos 5 delas para ir a festa.

Resultando em 6 5 maneiras.

Pelo principio aditivo, toda vez que aparece um “ou” na nossa argumentação devemos somar as possibilidades para termos as possibilidades totais. Então:

6 3 + 6 5 = 26

Resposta

a) 36

b) 26

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