Enunciado

Temos 20 mil reais que devem ser aplicados entre 4 carteiras diferentes. Cada aplicação deve ser feita em múltiplos de mil reais, e os investimentos mínimos que podem ser feitos são de 2, 2, 3 e 4 mil reais. Quantas estratégias de aplicação diferentes existem se

(a) uma aplicação tiver que ser feita em cada carteira?

(b) aplicações tiverem que ser feitas em pelo menos 3 das quatro carteiras?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos aprender a investir utilizando matemática.

Temos 20 mil reais e 4 lugares para distribuir eles, com sendo que a nossa unidade será “mil reais” em cada aplicação.

Então podemos pensar que temos 20 dinheiros para distribuir em 4 lugares com restrição de valor mínimo.

Passo 2

Vamos pensar que a quantidade de dinheiro investido em cada carteira é uma variável x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 e como temos no máximo 20 dinheiros a soma de todos estes investimentos tem que ser 20:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20

a) Em tese poderíamos contar todas as soluções desta equação para encontrar a quantidade de estratégias diferentes.

Mas tem a restrição de mínimo de investimento em cada carteira. Como temos que aplicar em todas elas, e isto não é uma escolha, podemos já remover os 2 + 2 + 3 + 4 = 11 dinheiros dos nossos 20 dinheiros iniciais. Assim restaria:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 9

Agora sim! É só descobrir o número de soluções não negativas desta equação.

Passo 3

Assim como mostra a alegoria do livro podemos pensar que cada variável é um espaço entre barrinhas e que temos 9 bolinhas para colocar entre estes espaços. Por exemplo a solução x 1 = 0 , x 2 = 4 , x 3 = 1 , x 4 = 4 seria representado por:

| ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ | ⋅ | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

E todas as outras soluções são permutações desta representação. Vamos utilizar a formula de permutação com repetição:

P 12 9,3 = 12 ! 9 ! 3 ! = 220

Então há 220 modos de investir em todas as carteiras.

Passo 4

b) Se tivermos que investir no mínimo em 3 carteiras, na pratica ou investiremos em 3 carteiras ou em 4 carteiras. Já calculamos quantas possibilidades há para 4 carteiras então só falta quantas possibilidades existem para 3 carteiras.

Podemos investir em x 1 ,   x 2 ,   x 3 ou em x 1 ,   x 2 , x 4 ou em x 1 ,   x 3 ,   x 4 ou em   x 2 ,   x 3 ,   x 4 e temos que calcular cada uma destas possibilidades para somar no final e descobrirmos quantas possibilidades há no total.

Quando investimos em x 1 ,   x 2 ,   x 3 temos que remover o investimento inicial dos 20 dinheiros, 20 - 2 - 2 - 3 = 13 , então:

  x 1 + x 2 +   x 3 = 13

Neste caso teriam 2 separadores e 13 bolinhas, totalizando 13 objetos para permutarmos:

P 15 2,13 = 15 ! 2 ! 13 ! = 105

Quando investirmos x 1 ,   x 2 ,   x 4 teríamos 20 - 2 - 2 - 4 = 12 , então:

x 1 + x 2 +   x 4 = 12

P 14 12,2 = 14 ! 12 ! 2 ! = 91

Quando investirmos x 1 ,   x 3 ,   x 4 teríamos 20 - 2 - 3 - 4 = 11 , então:

x 1 + x 3 +   x 4 = 11

P 13 11,2 = 13 ! 11 ! 2 ! = 78

Quando investimos em x 2 ,   x 3 ,   x 4 temos que remover o investimento inicial dos 20 dinheiros, 20 - 2 - 3 - 4 = 11 , então:

x 2 + x 3 +   x 4 = 11

P 13 11,2 = 13 ! 11 ! 2 ! = 78

Passo 5

Seguindo o princípio aditivo vamos somar todas as possibilidades:

220 + 105 + 91 + 78 + 78 = 572

Resposta

Para investirmos em todas as empresas teremos 220 possibilidades.

E quando investimos em pelo menos três carteiras teremos 572 possibilidades.

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