Enunciado

Em uma planta química, 24 tanques de retenção são usados para a armazenagem do produto final. Quatro tanques são selecionados ao acaso e sem reposição. Suponha que seis dos tanques contenham material em que a viscosidade exceda os requerimentos dos consumidores.

  1. Qual é a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alta viscosidade?
  2. Qual é a probabilidade de no mínimo um tanque na amostra conter material com alta viscosidade?
  3. Em adição aos seis tanques com altos níveis de viscosidade, quatro tanques diferentes contêm material com altos níveis de impurezas.

Qual é a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alta viscosidade e exatamente um tanque na amostra conter material com altos níveis de impureza?

Passo 1

Nós vamos selecionar quatro tanques dentro dos 24 tanque, de modo aleatório e sem reposição. Desses 24 tanques, seis contém material em que a viscosidade excede o que o cliente quer.

Note que antes da gente começar esse exercício, vamos lembrar que o número de combinações, subconjuntos de r elementos que podem ser selecionados de um conjunto de n elementos é:

C r n = n ! r ! ( n - r ) !

Que nós vamos usar na solução.

Letra a:

Pra achar nossa probabilidade, nós vamos precisar calcular a seguinte fração:

n ú m e r o   d e   a m o s t r a s   f a v o r á v e i s t o t a l   d e   a m o s t r a s

Nossas amostras favoráveis são aquelas em que exatamente um tanque na nossa amostra tem um material de alta viscosidade, que significa que dentro dos seis tanques, nós vamos tirar um e dentro do resto 24 - 6 = 18 tanques, nós vamos pegar o resto que é 4 - 1 = 3 (quatro é o número de tanques na amostra). O número de jeitos de pegar um tanque dentro dos seis é:

C 1 6

E o número de jeitos de pegar três tanques dentro dos 18 é:

C 3 18

Portanto, o número de todas as possibilidades favoráveis é:

C 6 1 C 3 18

Então, o número total de amostras é o número de jeitos que nós podemos pegar quatro tanques dentro dos 24 tanques, e nós podemos fazer isso em

C 24 4

jeitos.

Portanto, a probabilidade de exatamente um tanque dentro da amostra conter o material de alta viscosidade é:

n ú m e r o   d e   a m o s t r a s   f a v o r á v e i s t o t a l   d e   a m o s t r a s = C 1 6 C 3 16 C 4 24 = 0.461

Passo 2

Letra b:

Para encontrar a probabilidade de pelo menos 1 tanque dentro da amostra com o teu material de alta viscosidade, nós vamos encontrar a probabilidade do complemento desse evento e depois nós vamos subtraí-lo de 1. Vamos lembrar que:

P ( A ) = 1 - P ( A ' )

Normalmente, quando você quer pelo menos 1, você acha a probabilidade do complemento. Portanto, nós vamos querer a probabilidade de que todos os quatro tanques dentro da mostra não contenham o material em que a viscosidade excede ao que o cliente quer. Já que temos 18 tanques que não contém o tal material, nós vamos precisar pegar quatro tanques dentro desses 18, e nós podemos fazer isso em :

C 18 4 = 18 ! 4 ! ( 18 - 4 ) ! = 3060

jeitos, (n! é n fatorial, e ). Usando isso, e usando o que nós explicamos acima, nós vamos ter a probabilidade que nos interessa em:

1 - n ú m e r o   d e   a m o s t r a s   f a v o r á v e i s n ú m e r o   t o t a l   d e   a m o s t r a s = 1 - 3060 10626 = 0.712

Onde nós usamos o que nós calculamos na letra A para o número total de amostras.

Passo 3

Letra c:

Além dos seus tanques com alta viscosidade, quatro tanques diferentes contém material com altas impurezas. Para calcular essa probabilidade de exatamente um tanque dentro da amostra conter material de alta viscosidade e exatamente um tanque na amostra conter o material com alta impureza, nós precisamos calcular a seguinte fração:

n ú m e r o   d e   a m o s t r a s   f a v o r á v e i s t o t a l   d e   a m o s t r a s

Assim como na letra a, dentro dos seis tanques nós temos que pegar um tanque em

C 1 6

jeitos, e 1 dentro de 4 tanques em

C 1 4

jeitos, E agora nós temos 24 - 6 - 4 = 14 tanques restantes. Dentro desses 14 tanques nós vamos precisar pegar o resto pra fazermos a amostra, E isso é 4 - 1 - 1 = 2, e podemos fazer isso em

C 2 14

jeitos. Agora, o número total de amostras favoráveis é:

C 1 6 × C 1 4 × C 2 14 = 2184

Usando o que nós encontramos na letra (o número total de amostras) nós vamos ter:

n ú m e r o   d e   a m o s t r a s   f a v o r á v e i s t o t a l   d e   a m o s t r a s = 2184 10626 = 0.206

Que é exatamente a probabilidade que nós estávamos procurando!

Resposta

  1. 0.461
  2. 0.712
  3. 0.206
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