Enunciado

A população de um país consiste em três grupos étnicos. Cada indivíduo pertence a um de quatro grupos sanguíneos principais. A tabela de probabilidade conjunta fornece as proporções de indivíduos nas diversas combinações de grupos étnicos - grupos sanguíneos.

Suponha que um indivíduo seja selecionado aleatoriamente da população e defina os eventos A {tipo A selecionado}, B {tipo B selecionado} e C (grupo étnico 3 selecionado).

a) Calcule P ( A ) , P ( C ) , e P ( A   ∩   C ) .

b) Calcule P ( A | C ) e P ( C | A ) e explique, no contexto, o que significa cada uma dessas probabilidades.

c) Se o indivíduo selecionado não tiver o tipo sanguíneo B, qual é a probabilidade de que ele ou ela seja do grupo étnico 1?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos de cara resolver o item a)

Primeiro calculemos P ( A ) :

Para isso, somamos a coluna em que temos o título “A”.

P A = 0,106 + 0,141 + 0,200 = 0,447

Após isso, calculemos P C , para isso somamos todos os valores da linha com o título “3”:

P C = 0,215 + 0,200 + 0,065 + 0,020 = 0,500

E por fim, calculemos P ( A ∩ C ) , que é a intersecção da linha intitulada “3” com a coluna intitulada em “A”.

P A ∩ C = 0,200

Passo 2

Show! Vamos adiante. Resolvendo o item b)

Nesse item vamos calcular P C e P ( C | A ) .

Primeiro calculemos P C .

Para isso usamos que:

P C = P ( A ∩ C ) P ( C )

Substituindo os valores temos:

P C = 0.200 0.500 = 0.400

P C = 0.4 significa que dado um individuo de etnia do grupo 3, a probabilidade de ele ter sangue do tipo A é de 0.4.

Agora calculemos P ( C | A ) :

P A = P ( C ∩ A ) P ( A )

Substituindo os valores numéricos, temos:

P A = 0.200 0.447 = 0.447

P A = 0.447 significa que dado um indivíduo que tem sangue do tipo “A” a probabilidade de ele ser da etnia “3” é de 0.447.

Passo 3

Agora, vamos ao item c)

Neste item queremos descobrir qual é a probabilidade de que um indivíduo seja do grupo étnico 1, dado que ele não tem sangue do tipo “B”.

Vamos definir o evento D, como o grupo étnico 1 selecionado.

Logo, podemos calcular:

P B ' = P D ∩ B ' P B ' = 0.200 0.500 = 0.400

Assim:

P D ∩ B ' = 0,82 + 0,106 + 0,004 = 0,192

E também sabemos que:

P B ' = 1 - P B = 1 - 0.008 + 0.018 + 0.065 = 0.909

Resposta

a) P A = 0,447 ; P C = 0,500 ; P A ∩ C = 0,200

b)   P C = 0.400 ; P A = 0.447

c) 0.909

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