Enunciado

A porcentagem de pessoas que tomam o medicamento contra reumatismo, que só prefere colaterais severos, moderados ou menores, é igual a 10,20 e70%, respectivamente. Considere que as pessoas reagem de forma independente e 20 pessoas está o medicamento. Determine o seguinte:

  1. A probabilidade de 2,4 e 14 pessoas sofrerem efeitos colaterais severas, moderados e menores, respectivamente.
  2. A probidade ninguém sofrer efetivo atrás severas.
  3. A média variância do número de pessoas que sofreram efeitos colaterais severos.
  4. Qual é a distribuição de probidade condicionais do número de pessoas que sou perfeito e contras severas, dado que 19 só pra te poder as menores?
  5. Qual é a média condicional do número de pessoas que só pedir com outros deveres, dado que 19 sofrem efeitos colaterais menores?

Passo 1

Oi gente, vamos resolver essa questão aqui que é grande, mas calma, que não é tão difícil quanto parece!

A distribuição de probabilidade da variável aleatória (X, Y, Z) é uma distribuição multinomial:

f X Y Z ( x , y , z ) = P ( X = x , Y = y , Z = z ) = n ! x ! y ! z ! p 1 x p 2 y p 3 z

com parâmetros

p 1 = 0.1 , p 2 = 0.2 , p 3 = 0.7 ; n = 20

onde X, Y e Z são o número de pessoas que sofrem servos, moderados, ou efeitos colaterais menores, respectivamente.

Passo 2

Letra a:

A probabilidade de que 2, 4 e 14 pessoas irão sofrer efeitos colaterais severos, moderados ou menores, respectivamente é o seguinte:

P ( X = 2 , Y = 4 , Z = 14 ) = 20 ! 2 ! 4 ! 14 ! × 0.1 2 × 0.2 4 × 0.7 14 = 0.0631

Passo 3

Letra b:

A probabilidade de ninguém irá sofrer efeitos colaterais severos é:

P X = 0 = 0.1 0 × 0.9 20 = 0.1216

Aqui usamos o fato de que a distribuição marginal da distribuição multinomial é de fato uma Distribuição Binomial. Lembre-se que:

A distribuição binomial com os parâmetros n e p ( q = 1 - p ) é, para x ∈ { 0 , 1,2 , . . . , n } é

P ( X = x ) = n x p x q n - x

Passo 4

Letra c:

A média e a variância do número de pessoas que irão sofrer efeitos colaterais severos pode ser calculado pelas definições.

A expectativa matemática da variável aleatória discreta X é a soma dos produtos de cada possibilidade x ∈ R X na faixa de X com sua probabilidade P ( X = x ) :

E ( X ) = ∑ x ∈ R X   x P ( X = x )

V ( X ) é a variância da variável aleatória X definida como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E X 2 - ( E ( X ) ) 2

Nesse caso, já que sabemos que X segue a distribuição binomial e o fato de que a expectativa e as variações da distribuição binomial são amplamente conhecidas e então calculamos como:

E ( X ) = n × p 1 = 20 × 0.1 = 2 V ( X ) = n × p 1 × 1 - p 1 = 20 × 0.1 × 0.9 = 1.8

Passo 5

Letra d:

A distribuição de probabilidade condicional do número de pessoas que sofrem efeitos colaterais severos, uma vez que 19 sofrem efeitos colaterais menores pode ser calculado

usando a seguinte expressão. Para duas variáveis ​​aleatórias X e Z, a distribuição de probabilidade condicional X | Y = y pode ser calculado como:

f X ∣ z = z ( x ) = f X Z ( x , z ) f Z ( z )

O seguinte deve ser calculado para x ∈ { 0 , 1,2 , . . . , 20 } :

f X ∣ z = 19 ( x ) = f X Z ( x , 19 ) f Z ( 19 )

mas para x ∈ { 2,3 , . . . , 20 } a função de massa conjunta é zero, porque x + z = x + 10 > 20 . Observe que a função de massa conjunta f X Y , de variável aleatória ( X , Z ) pode ser escrito usando a função de massa de probabilidade conjunta da variável aleatória (X, Y, Z), f X Y Z como:

f X Z ( x , z ) = 20 ! x ! ! ! ( 20 - x - z ) ! × 0.1 x × 0.7 z × 0.2 20 - x - z = f X Y Z ( x , 20 - x - z , z )

o que é esperado desde que, por exemplo, x = 0 ,   z = 19 tenha um valor para y de y = 20 - 19 - 0 = 1 . Além disso, já mencionamos que a distribuição marginal da distribuição multinomial é a distribuição binomial, então Z tem uma distribuição binomial. Usando esses dois, obtemos:

f X ∣ z = 19 ( x ) = f X Z x , 19 f Z 19 = 20 ! x ! 19 ! 1 - x ! × 0.1 x × 0.2 1 - x × 0.7 19 20 ! 19 ! 1 ! × 0.7 19 × 0.3 1 = = 1 ! x ! 1 - x ! × 0.1 0.3 x × 0.2 0.3 1 - x = = 1 ! x ! ( 1 - x ) ! × 1 3 x × 2 3 1 - x

Isso significa que a variável aleatória X | Z = 19 tem uma distribuição binomial com parâmetros em n = 1 e p = 1 3 . É fácil calcular f X | Z = 19 ( 0 ) = 2 3 e f X | Z = 20 ( 1 ) = 1 3 .

Passo 6

Letra e:

A média condicional do número de pessoas que sofrem efeitos colaterais severos dado que 19 sofrem efeitos colaterais menores é, pela definição acima:

E ( X ∣ Z = 19 ) = 0 × 2 3 + 1 × 1 3 = 1 3

E ( X ∣ z = 19 ) = 0 × 2 3 + 1 × 1 3 = 1 3

Resposta

  1. P X = 2 , Y = 4 , Z = 14 = 0.0631
  2. P X = 0 = 0.1216
  3. E X = 2 , V X = 1.8
  4. f X ∣ z = 19 0 = 2 3 , f X ∣ z = 20 1 = 1 3
  5. E ( X ∣ z = 19 ) = 1 3
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