Enunciado

O Torque requerido para remover parafusos e uma placa de aço é classificado como alto, moderado ou baixo. Historicamente, a probabilidade de uma classificação alta, moderada ou baixa é 0.6,0.3 ou 0.1, respectivamente. Suponha que 20 parafusos sejam avaliados e que as classificações doutor que seja independente.

  1. Qual é a probabilidade de que 12,6h02 parafusos sejam classificados como alto, moderado e baixo, respectivamente?
  2. Qual é a distribuição Marginal do número de parafusos classificados como baixar?
  3. Qual é o número esperado de parafusos classificados como baixos?
  4. Qual é a probabilidade de que o número de parafusos classificados como baixo seja maior do que dois?
  5. Qual é a distribuição condicional do número de parafusos classificados como baixos, dado que 16 parafusos são classificados como alto?
  6. qual é o número condicional esperado de parafusos classificados como baixo, dado que 16 parafusos são classificados como alto?
  7. Os número de parafusos classificados como alto e baixo são variáveis aleatórias independentes?

Passo 1

Oi gente, vamos resolver essa questão aqui que é gigante, mas calma, que não é tão difícil quanto parece!

A distribuição de probabilidade da variável aleatória (X, Y, Z) é uma distribuição multinomial:

f X Y Z ( x , y , z ) = P ( X = x , Y = y , Z = z ) = n ! x ! y ! z ! p 1 x p 2 y p 3 z

com parâmetros

p 1 = 0.6 , p 2 = 0.3 , p 3 = 0.1 n = 20

onde X, Y e Z são o número de parafusos com classificação alta, moderada ou baixa, respectivamente.

Passo 2

Letra a:

A probabilidade de que 12, 6 e 2 parafusos são classificados como alta, moderada ou baixa, respectivamente é o seguinte:

P ( X = 12 , Y = 6 , Z = 2 ) = 20 ! 12 ! 6 ! 2 ! × 0.6 12 × 0.3 6 × 0.1 2 = 0.056

Passo 3

Letra b:

A distribuição marginal do número de parafusos com classificação baixa, bem como a distribuição marginal do número de parafusos classificados como alto/moderado é uma Distribuição Binomial.

Aqui usamos o fato de que a distribuição marginal da distribuição multinomial é de fato uma Distribuição Binomial. Lembre-se que:

A distribuição binomial com os parâmetros n e p ( q = 1 - p ) é, para x ∈ { 0 , 1,2 , . . . , n } é:

P ( X = x ) = n x p x q n - x

Passo 4

Letra c:

O número esperado de parafusos com classificação baixa pode ser calculado a partir da definição da expectativa, mas há um resultado bem conhecido para a Distribuição Binomial, E ( X ) = n × p , que usaremos:

E ( Z ) = n × p 3 = 20 × 0.1 = 2

Passo 5

Letra d:

A probabilidade de que o número de parafusos com classificação baixa seja superior a dois é:

P ( Z > 2 ) = ( 1 ) ∑ 3 ≤ z ≤ 20   P ( Z = z ) = ( 2 ) ∑ 3 ≤ z ≤ 20   20 z p 3 z p 3 - 1 20 - z = 0.323

O evento {Z> 2} pode ser escrito como união de eventos disjuntos {Z = z}, z ∈ { 3 , 4,5 , . . . , 20 }

Z tem distribuição binomial.

Passo 6

Letra e:

A distribuição condicional do número de parafusos com classificação baixa, dado que 16 parafusos com classificação alta podem ser calculados vai ser o seguinte. Para duas variáveis ​​aleatórias X e Y, a distribuição de probabilidade condicional X | Y = y pode ser calculado como:

f X ∣ Y = y ( x ) = f X Y ( x , y ) f Y ( y )

E o seguinte deve ser calculado para x ∈ { 0 , 1,2 , . . . , 20 } :

f Z ∣ x = 16 ( z ) = f X Z ( 16 , z ) f X ( 16 )

mas para z ∈ { 5,6 , . . . , 20 } a função de massa conjunta é zero, porque x + y = 16 + z > 20 .

Observe que a função de massa conjunta f X Z da variável aleatória (X,Z) pode ser escrita usando a função de massa de probabilidade conjunta da variável aleatória (X, Y, Z), f X Y Z como:

f X Z ( x , z ) = 20 ! x ! z ! ( 20 - x - z ) ! × 0.6 x × 0.1 z × 0.3 20 - x - z = f X Y Z ( x , 20 - x - z , z )

o que é esperado desde que, por exemplo, x = 16 ,   z = 2 tenha um valor para y de y = 20 - 16 - 2 = 2 . Além disso, já mencionamos que a distribuição marginal da distribuição multinomial é a distribuição binomial, então Z tem uma distribuição binomial. Usando esses dois, obtemos:

f Z X = 16 ( z ) = f X Z ( 16 , z ) f X ( 16 ) = 20 ! 16 ! : ! ( 4 - z ) ! × 0.1 z × 0.3 4 - z × 0.6 16 20 ! 16 ! 4 ! × 0.6 16 × 0.4 4 = ( 1 )

= ( 1 ) 4 ! z ! ( 4 - z ) ! × 0.1 0.4 z × 0.3 0.4 1 - z =

= 4 ! z ! ( 4 - z ) ! × 1 4 z × 3 4 1 - z

Isso significa que a variável aleatória Z | X = 16 tem uma distribuição binomial com parâmetros em n = 4 e p = 1 4 . Note que a variável aleatória Z | X = 16 tem intervalo R Z | X = 16 = { 0,1 , 2,3 , 4 } .

Passo 7

Letra f:

Para calcular o número esperado de parafusos com classificação baixa, dado que 16 parafusos são classificados como alto, usaremos o resultado que mencionamos antes:

E ( Z ∣ X = 16 ) = n × p = 4 × 1 4 = 1

Passo 8

Letra g:

Para que os números de parafusos classificados como alto e baixo sejam variáveis aleatórias independentes , a distribuição marginal de Z | X = 16 tem que ser igual à distribuição

da variável aleatória Z. Portanto,

f Z ∣ x = 16 ( z ) = f Z ( z ) ,  para todo   z ∈ { 0,1 , 2 , … , 20 }

o que obviamente não é verdade (ver distribuição de Z e Z | X = 16 ) .

Conclusão: as variáveis ​​aleatórias X e Z não são independentes.

Resposta

  1. 0.056
  2. Distribuição Binomial
  3. E ( Z ) = 2
  4. 0.323
  5. a variável aleatória Z | X = 16 tem uma distribuição binomial com parâmetros em n = 4 e p = 1 4 .
  6. 1
  7. as variáveis ​​aleatórias X e Z não são independentes.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10-77. Uma miquina de teste de dureza Rockwell pressiona uma pon-teira em um corpo-de-prova, usando a profundidade da depressão re-sultante pura indicar a dureza. Duas ponteiras diferentes estao sendo
10-86. Encontre uma expressão para para o teste de igualdade devariâncias de duas distribuições normais. Considere que a alternati-va bilateral seja espeeiticada.
10-81. Suponha que desejemos testar contra sendo a e r conhecidas. O tamanho total da amostra, N. deveráser determinado e a alocação das observações nas duas populações.tal que n, + n, = N. deverá ser
10-85. Em algumas situações envolvendo proporções, estamos in-teressados na razão em vez da diferença . Podemos mostrar que tem uma distribuição normal aproximada com média e variância a) Use a inform
10-84. Construa um conjunto de dados para o qual a estatística t empa-relhada seja muito grande, indicando que quando essa análise for usa-da, as duas médias populacionais serão diferentes. Porém. t,