Enunciado

A probabilidade de que um aluno de ensino médio

não passe em um exame de escoliose (curvatura da espinha) realizado numa escola é de 0,004. Dentre os próximos 1.875 alunos que passam pelo exame, determine a

probabilidade de que

(a) menos de cinco não passem no exame;

(b) oito, nove ou dez não passem no exame.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja X a variável aleatória que representa o número de alunos que reprovam dos próximos 1875 alunos.

Um aluno falha no teste de triagem, consideramos isso como um sucesso.

A probabilidade de um sucesso em cada tentativa, p = 0.004

Os ensaios são independentes.

A variável aleatória X segue distribuição binomial com parâmetros n = 1875 e p = 0.004 aqui, pode-se observar que o número de tentativas é grande e a probabilidade de sucesso é pequena.

Assim, a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson com parâmetro μ = n p = 1875 × 0.004 = 7.5 é finito

A função de massa de probabilidade da distribuição de Poisson pode ser definida como,

p ( x ; μ ) = e - μ μ x x ! ; x = 0,1 , 2 , …

Passo 2

a) A probabilidade de que menos de 5 reprovem no teste é,

P ( X < 5 )   = P ( X ≤ 4 )   = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 )   = e - 7.5 ( 7.5 ) 0 0 ! + e - 7.5 ( 7.5 ) 1 1 ! + e - 7.5 ( 7.5 ) 2 2 ! + e - 7.5 ( 7.5 ) 3 3 ! + e - 7.5 ( 7.5 ) 4 4 !   = 0.00055 + 0.00415 + 0.01556 + 0.03889 + 0.07292   = 0.1321

Portanto, a probabilidade de que menos de 5 falhem no teste é 0.1321 .

Passo 3

b) A probabilidade de 8,9 ou 10 falharem no teste é:

P ( 8 ≤ X ≤ 10 )   = P ( X = 8 ) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )   = e - 7.5 ( 7.5 ) 8 8 ! + e - 7.5 ( 7.5 ) 9 9 ! + e - 7.5 ( 7.5 ) 10 10 !   = 0.13733 + 0.11444 + 0.08583   = 0.3376

Portanto, a probabilidade de que 8,9 ou 10 reprovem no teste é 0.3376 .

Resposta

a) 0.1321

b) 0.3376

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