Enunciado

Se a probabilidade de uma lâmpada fluorescente ter vida útil de pelo menos 800 horas é de 0,9, determine a probabilidade de que, entre 20 lâmpadas,

(a) exatamente 18 terão vida útil de pelo menos 800 horas;

(b) pelo menos 15 terão vida útil de pelo menos 800 horas;

(c) pelo menos duas não terão vida útil de pelo menos 800 horas.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Primeiro vamos enunciar alguns dados do exercício:

P v i d a   ú t i l ≥ 800 = 0,9

Vamos definir a nossa variável aleatória X sendo a quantidade de lâmpadas que tem vida útil igual ou superior a 800 horas.

Passo 2

Show! Vamos adiante.

No item a) queremos determinar a probabilidade de que entre 20 lâmpadas, exatamente 18 terão vida útil de pelo menos 800 horas;

Podemos modelar o nosso problema como uma binomial, da seguinte maneira:

b x ; n , p = n x p x q n - x

No nosso caso n = 20   e   p = 0,9

Logo:

b x ; 20,0 , 9

além disso estamos interessados no caso em que x = 18 .

Logo:

P X = 18 = b 18 ; 20,0 , 9 = 20 18 0,9 18 0,1 2

Resolvendo:

P ( X = 18 ) = b 18 ; 20,0 , 9 = 20 ! 18 ! 2 ! 0,9 18 0,1 2 = 0,2852

Passo 3

Agora vamos prosseguir com a resolução e calcular o item b).

Nesse item queremos determinar a probabilidade de que, entre 20 lâmpadas pelo menos 15 terão vida útil de pelo menos 800 horas.

Em suma, o que queremos é:

P X ≥ 15

Podemos usar o complementar para nos ajudar nos cálculos:

P X ≥ 15 = 1 - P ( X < 15 )

Agora podemos usar o modelo binomial que a gente desenvolveu no item a)

P X ≥ 15 = 1 - ∑ x = 0 14 b x ; 20,0 , 9

Resolvendo a expressão acima, podemos concluir que:

P X ≥ 15 = 1 - 0,0113 = 0,9887

Passo 4

Por fim, iremos concluir com o item c).

Nesse item queremos determinar a probabilidade de que, entre 20 lâmpada pelo menos duas não terão vida útil de pelo menos 800 horas.

Ou seja, estudar isso é equivalente a estudar a probabilidade de que no máximo 18 lâmpadas funcionem nesse horário.

Logo, queremos:

P X ≤ 18

Calculando isso:

P X ≤ 18 = ∑ x = 0 18 b x ; 20,0 , 9 = 0,6083

Resposta

  1. P ( X = 18 ) = 0,2852
  2. P X ≥ 15 = 1 - 0,0113 = 0,9887
  3. P X ≤ 18 = 0,6083

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