Enunciado

Um processo produz itens em lotes de 50. Há um

plano amostrai no qual lotes são separados periodicamente e expostos a certo tipo de inspeção. Assume-se que

a proporção de itens defeituosos no processo seja muito

pequena. Também, é muito importante para a empresa

que os lotes que contêm itens defeituosos sejam muito

raros. Atualmente, o plano de inspeção da empresa consiste em, periodicamente, amostrar aleatoriamente dez

dentre os 50 itens em um lote e, se nenhum apresentar

defeitos, não há nenhuma intervenção no processo.

(a) Suponha que, em um lote escolhido aleatoriamente,

dois dos 50 itens apresentam defeitos. Qual é a probabilidade de que pelo menos um item na amostra

de dez do lote seja defeituoso?

(b) Com base em sua resposta em (a), comente sobre a

qualidade do plano amostrai.

(c) Qual é o número médio de itens defeituosos encontrado em dez itens?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) No. de itens defeituosos no lote de 50 itens = 2

Seja X a variável aleatória que denota o no. de itens defeituosos na amostra de 10 do lote de 50 contendo 2 defeituosos

∴ X tem uma distribuição hipergeométrica com parâmetros e N = 50 , n = 10 e k = 2 p.m.f de X é dado por

h ( x ; N = 50 , n = 10 , k = 2 ) = k x N - k n - x N n   onde   m   { 0 , n - ( N - k ) } ≤ x ≤ m   { n , k }  i.e  0 ≤ x ≤ 2

P [pelo menos 1 na amostra de 10 do lote que contém 2 defeituos]

  = P [ 1 ≤ X ≤ 2 ]   = 1 - P ( X = 0 )   = 1 - h ( 0 ; 50,10,2 )

= 1 - 2 0 50 - 2 10 - 0 50 10

= 1 - 2 0 48 10 50 10 = 1 - 0.6367 = 0.3633

Passo 2

b) A partir da parte (a), verificou-se que a probabilidade de que pelo menos 1 na amostra de 10 do lote seja defeituoso é, ou 33.63 seja, probabilidade de que o processo seja intervencionado com base na amostra de 10 do lote contendo 2 itens defeituosos é 33.63 .

O que significa apenas 33.63 % a partir do tempo, o processo será intervencionado quando deveria ser intervencionado com base no lote de chosen.

Portanto, a qualidade do plano de amostragem não é boa.

Passo 3

c) Média no. de defeitos encontrados em 10 itens da amostra

  = E ( X )   = n k N

∵ X   tem a distribui çã o hipergeom é trica com par â metro s , N , k   onde   n = 10 ,   N = 50 , k = 2

  = 10 × 2 50   = 0.40

Resposta

Resposta nos passos.

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