Enunciado

Entre os 16 programadores de uma empresa, 12 pertencem ao sexo masculino. Sorteando-se 5 desses programadores, ao acaso, qual a probabilidade de:

  1. encontrarmos 3 ou 4 programadores do sexo feminino, supondo não haver reposição dos programadores sorteados, durante o sorteio;
  2. encontrarmos no mínimo 3 programadores do sexo masculino, supondo haver reposição dos programadores sorteados, durante o sorteio.

Passo 1

Olá pessoal. Primeiramente vamos relembrar o conceito de distribuição binomial e hipergeométrica.

A distribuição binomial é um modelo de experiência aleatória que pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições, na qual podem ocorrer apenas duas alternativas: realização de um evento E (sucesso), ou a não realização desse evento E (fracasso):

P E = p

P E - = q = 1 - p

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Já a distribuição hipergeométrica é um modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli dependentes. Refere-se a experimentos que se caracterizam por retiradas sem reposição, onde a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada. A distribuição hipergeométrica se difere da distribuição binomial porque a probabilidade de sucesso muda de um experimento para o outro.

Para isso, iremos considerar um conjunto de N elementos. Onde serão extraídos n elementos ( n ≤ N ) sem reposição. Onde X é o número de elementos com a referida característica que estarão entre os n retirados, e x a probabilidade de sair o elemento, ou seja:

P X = C X ,     x ∙ C N - X , n - x C N , n

E sabemos que:

C n , x = n x = n ! x ! n - x !

Sabendo disso, vamos para o nosso exercício, pelo enunciado temos:

  • N = 16 programadores;
  • X 1 = 12 sexo masculino;
  • X 2 = 1 6 - 12 = 4 sexo feminino;
  • n = 5 .

Passo 2

No item a) queremos encontrar a probabilidade de encontrarmos 3 ou 4 programadores do sexo feminino, sendo que não haja reposição. Para isso temos:

  • X = 4 ;
  • x = 3   o u   4 .

Como não há reposição, iremos utilizar a distribuição hipergeométrica:

P X = X x ∙ N - X n - x N n

Sendo assim, temos o seguinte para x = 3 :

P 3 = 4 3 ∙ 16 - 4 5 - 3 16 5 = 4 ! 3 ! 1 ! ∙ 12 ! 2 ! 10 ! 16 ! 5 ! 11 ! ∙ 100 %

P 3 = 6,0 %

E para x = 4 :

P 4 = 4 4 ∙ 16 - 4 5 - 4 16 5 = 4 ! 4 ! 0 ! ∙ 12 ! 1 ! 1 1 ! 16 ! 5 ! 11 ! ∙ 100 %

P 4 = 0 , 3 %

Então a probabilidade de encontrarmos 3 ou 4 programadores do sexo feminino é:

P 3   o u   4 = P 3 + P 4 = 6,0 + 0,3 = 6,3 %

Passo 3

No item b) queremos a probabilidade de encontrar no mínimo 3 programadores do sexo masculino, porém neste caso irá haver reposição dos programadores.

Então se há reposição, quando sorteia um programador, ele retorna para o sorteio, e novamente faz outro sorteio. Faz isso sucessivamente, até o sorteio de 5 programadores. Neste caso podemos resolver pela distribuição binomial:

  • X = 12 ;
  • x ≥ 3 ;
  • p = X N = 12 16 = 0,75 ;
  • q = 1 - 0,75 = 0,25 .

Então temos a seguinte equação:

P x = 5 ! x ! 5 - x ! ∙ 0,75 x ∙ 0,25 5 - x

Primeiramente iremos calcular para P ( x < 3 ) :

Então a probabilidade de serem sorteados no mínimo 3 programadores do sexo masculino é:

P x ≥ 3 = 1 - P x < 3 ∙ 100 % = 1 - P 0 + P 1 + P 2 ∙ 100 %

P x ≥ 3 = 1 - 0,103 ∙ 100 %

P x ≥ 3 = 89,7 %

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  1. P 3   o u   4 = 6,3 %
  2. P x ≥ 3 = 89,7 %

Exercícios de Livros Relacionados

Um instrutor que lecionou estatística para engenheiros para duas turmas no semestre passado, a primeira com 20 alunos e a segunda com 30, decidiu pedir aos alunos um projeto semestral. Após a entrega
Um geólogo coletou 10 amostras de rocha basáltica e 10 de granito. Instruiu o geólogo assistente de laboratório para selecionar aleatoriamente 15 amostras para análise. a. Qual é o número de amostras
Para uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica com parâmetro N , men , determine: P { X = k + 1 } P { X = k } .
Para uma variável aleatória hipergeométrica, determine P X = k + 1 / P X = k