Enunciado

As propriedades físicas de seis amostras de tecido antichama foram investigadas no artigo “Sensory and Physical Properties of Inherently Flame–Retardant Fabrics” (Textile Research, 1984, p. 61–68). Use os dados a seguir e um nível de significância 0,05 para determinar se existe uma relação linear entre rigidez x (mg–cm) e espessura y (mm). O resultado do teste é surpreendente, levando em consideração o valor de r ?

Passo 1

O coeficiente de correlação da amostra r é dado por

r = S x y ∑ ( x i - x ¯ ) ² ∑ ( y i - y ¯ ) ² = S _ x y S x x S y y

Onde

S x y = ∑ x i y i - 1 n ∑ x i ∑ y i

S x x = ∑ x i 2 - 1 n ∑ x i 2

S y y = ∑ ( y i - y ¯ ) ² = ∑ y i 2 - 1 n ∑ y i 2

Calcule todos os valores necessários. A seguir estão as somas que são necessárias para calcular os valores de S

∑ x i y i = 7.98 ∙ 0.28 + 24.52 ∙ 0.65 + … + 35.71 ∙ 0.57 = 63.915 ;

∑ x i = 7.98 + 24.52 + … + 35.71 = 111.71 ;

∑ y i = 0.28 + 0.65 + … + 0.57 = 2.9 ;

∑ x i 2 = 7.98 2 + 24.52 2 + … + 35.71 2 = 2724.7943 ;

∑ y i 2 = 0.28 2 + 0.65 2 + … + 0.57 2 = 1.6572

O valor de S x y

S x y = ∑ x i y i - 1 n ∑ x i ∑ y i

= 63.915 - 1 6 ∙ 111.71 ∙ 2.9

= 9.922

O valor de S y y

S y y = ∑ y i 2 - 1 n ∑ y i 2

= 1.6572 - 1 6 ∙ 2.9 2

= 0.256

O coeficiente de correlação da amostra r pode ser calculado usando a fórmula dada como

r = S x y ∑ ( x i - x ¯ ) ² ∑ ( y i - y ¯ ) ² = S _ x y S x x S y y

= 9.922 644.940 0.256

= 0.7729

Passo 2

Ao testar H 0   :   ρ = 0 versus uma das alternativas, a estatística de teste é

T = R n - 2 1 - R ²

que tem distribuição t com n-2 graus de liberdade, onde RR é o coeficiente de correlação amostral como variável aleatória. Dependendo da hipótese alternativa, o valor de P é a área correspondente sob t n - 2 curva.

A hipótese alternativa é H a   :   ρ ≠ 0 . O valor da estatística T é

t = r n - 2 1 - r 2 = 0.7729 6 - 2 1 - 0.7729 2 = 2.44

O valor de P, calculado usando um software, é

P = 2 P T > t = 0.072

Do fato

P = 0.072 > 0.05 = α

não rejeite a hipótese nula no nível de significância α . O coeficiente de correlação populacional não difere de 0. É surpreendente, no entanto, que talvez seja por causa do tamanho da amostra n=6 não é grande o suficiente.

Resposta

É surpreendente; o tamanho da amostra n=6 é pequeno.

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