Enunciado

Quatro bolas vermelhas, 8 azuis e 5 verdes são alinhadas aleatoriamente.

  1. Qual é a probabilidade de que as primeiras 5 bolas sejam azuis?
  2. Qual é a probabilidade de que nenhuma das primeiras 5 bolas seja azul?
  3. Qual é a probabilidade de as três últimas bolas tenham cores diferentes?
  4. Qual é a probabilidade de que todas as bolas vermelhas estejam juntas?

Passo 1

Olá galera! A resolução deste problema requer o uso do Princípio Fundamental da Contagem. Antes de iniciar a sua resolução é importante dar o nome aos bois. Sendo assim, temos:

V = b o l a   v e r m e l h a ; A = b o l a   a z u l ; V d = b o l a   v e r d e

Logo, temos 4 V , 8 A e 5 V d , totalizando 17 bolas.

Passo 2

  1. Se quisermos que as bolas azuis ocupem as primeiras 5 posições, então teremos 8 , 7 , 6 , 5 e 4 possibilidades para as bolas azuis ocuparem a primeira, segunda, terceira, quarta e quinta posição. Logo, o número de possibilidades para que as primeiras 5 posições sejam ocupadas pelas bolas azuis é 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 6720 . Como temos 17 bolas no total, então o espaço amostral será igual a 17 ∙ 16 ∙ 15 ∙ 14 ∙ 13 = 742560 . Assim, a probabilidade procurada é
  2. 6720 742560 = 2 221

    Passo 3

  3. Agora, ao contrário da alínea (a), queremos que as primeiras 5 posições sejam ocupadas pelas bolas não azuis. Como temos no total 9 bolas não azuis então o número de possibilidades de coloca-las nas primeiras 5 posições é 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 = 15120 . O espaço a amostral continua sendo o mesmo. Assim, a probabilidade procurada é
  4. 15120 742560 = 9 442

    Passo 4

  5. Para que as três últimas bolas tenham cores diferentes, devemos formar uma sequência com as três cores dadas. Como em quaisquer sequências que as bolas apareçam teremos sempre 4 ∙ 8 ∙ 5 = 160 possibilidades e como a permutação destas cores correspondem a 3 ! , então o número de possibilidades para que apareçam cores diferentes nas três últimas bolas é 160 ∙ 3 ! = 960 . Como o número do espaço amostral agora é reduzido e corresponderá agora 17 ∙ 16 ∙ 15 = 4080 . Assim, a probabilidade procurada é
  6. 960 4080 = 4 17

    Passo 5

  7. Antes de colocar as bolas vermelhas, primeiro vamos alinhar aleatoriamente as 13 bolas não vermelhas, assim, teremos 13 + 1 = 14 posições onde podemos colocar as quatro bolas vermelhas juntas. Como a probabilidade de colocar as quatro bolas vermelhas numa posição específica é

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 17 ∙ 16 ∙ 15 ∙ 14 = 24 57120

Logo, a probabilidade procurada é

14 ∙ 24 57120 = 336 57120 = 1 170

Resposta

  1. 2 221
  2. 9 442
  3. 4 17
  4. 1 170

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