Enunciado

A receita média, em porcentagem, dos quase 600 municípios de um estado tem sido 7%. O

governo pretende melhorar esse índice e, para isso, está estudando alguns incentivos. Para

verificar os efeitos desses incentivos, sorteou 10 cidades e estudou quais seriam as porcenta-

gens investidas neles. Os resultados foram, em porcentagem, 8, 10, 9, 11, 8, 12, 16, 9, 12, 13.

Admitindo-se que esses números realmente venham a ocorrer, os dados trazem evidência de

melhoria? Caso altere a média do estado, dê um intervalo de confiança para a nova média.

Passo 1

Do enunciado, temos:

X = receita média ( em %) e considerando

X   ~   N 7 % ; σ 2 e α = 5 % .

N=10 cidades

Temos de realizar o teste da média para uma população com variância desconhecida.

Então:

T = X - -   μ S 2 N   ~   T n - 1 t - s t u d e n t ,   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e .

Devemos calcular a partir das amostras dadas no enunciado:

X - = 10,8   e   S 2 = ∑ X i - X - 2 n - 1 = 6,40

Passo 2

Teste de hipótese: H 0 : μ = 7 %     e     H 1 :   μ > 7 %

Vamos construir a Região Crítica: RC={ t 0 ∈ R   t a l   q u e   t 0 > t 0,05 ; 9 }

Onde t 0,05 ; 9 = 1,833

Obs: lembrando que na tabela de distribuição de t-student a porcentagem mostrada é sempre p 2 , mas como estamos usando o limite unilateral superior(hipótese alternativa), temos p 2 = α =   0,05   l o g o   p = 0,1 .

Nossa RC assume a seguinte forma: RC={ t 0 > 1,833  

Passo 3

Teste sob H 0 :  

t 0 = 10,8 - 7 6,40 10 = 4,75

Resposta

Como t 0 = 4,75   ∈ R e g i ã o   c r í t i c a   devemos rejeitar H 0 e concluímos que existem evidencias de melhoria na receita média das cidades após os incentivos do governo

Intervalo de confiança( μ ; 95 % ) = X - ± t 0 .   S 2 n = 10,8 ± 2,262 . 6,40 10

I C μ ; 95 % = ( 8,9904 ; 12,6096 )

Obs: No intervalo de confiaça temo um limite bilateral com α = 5 %   portanto na tabela de t-student: p 2 = α 2 = 0,025 ,   l o g o   p = 0,05

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