Enunciado

Reconsidere os dados da espessura do oxido no Exercicio 7-23c suponha que seja razoavel supor que a espessura do oxido seja normalmente distribuida.

  1. Calcule as estimativas de maxima verossimilhanca de p e de o.
  2. Faca um grafico da funcio verossimilhanca na vizinhanca de ji eo e das estimativas de maxima verossimilhanca e comente a sua forma.
  3. Suponha quc o tamanho da amostra foi maior( n = 40 ).porem as estimativas de maxima verossimilhanca foram numericamente iguais aos valores obtidos no item(a).Faca um grafico da funcao verossimilhanca para n = 40 ,compare-o aquele do item(b)e comente sobre o efeito do maior tamanho de amostra.

Passo 1

Letra a:

A estimativa da média é

μ ^ = X _ = 1 n ∑ i = 1 n   X i

em nosso caso, n = 24 , portanto

μ ^ = X _ = 1 24 ( 425 + 431 + … + 428 + 413 + 416 ) = 10160 24 =   = 423.33  

onde somamos todos os dados.

A estimativa da variância é

σ ^ 2 = 1 n ∑ i = 1 n   X i - X _ 2

que é parcial.

Vamos calcular o estimador parcial da variância como

σ ^ 2 = 1 24 ( 425 - 433.33 ) 2 + … + ( 416 - 433.33 ) 2 = 1897.3336 24   = 79.06  

A estimativa do desvio padrão é a raiz quadrada da variância, portanto

σ ^ = 79.06 = 8.89

Passo 2

Letra b:

A função de verossimilhança para uma amostra aleatória de tamanho n é:

L μ , σ 2 = ∏ i = 1 n   1 2 π σ e x p ⁡ - x i - μ 2 2 σ 2 = 2 π σ 2 - n 2 e x p ⁡ - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n   x i - μ 2

onde x i são as datas que temos.

Os gráficos são:

A função se parece com uma crista e a curvatura não é grande. O valor máximo está em 8.89 (desvio padrão) e 423.33 (a média).

Passo 3

Letra c:

O gráfico não muda muito. Parece que é mais fácil determinar o valor máximo para o desvio padrão à medida à medida que n aumenta.

Basicamente, apenas a curvatura será maior (não significativamente).

Resposta

  1. μ ^ = 423.33 , σ ^ 2 = 79.06
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