Enunciado

Reconsidere os dados sobre taxa de filtragem–quantidade de umidade introduzidos no Exemplo 12.6 (veja também o Exemplo 12.7). a. Calcule um IC de 90% para 0 1251, a quantidade média real de umidade quando a taxa de filtragem é 125. b. Preveja o valor da quantidade de umidade para uma única operação experimental na qual a taxa de filtragem é 125 usando um nível de previsão de 90%. Como esse intervalo se compara ao intervalo da parte (a)? Por que isso ocorre? c. Em que os intervalos das partes (a) e (b) se comparam com o IC e o IP quando a taxa de filtragem é 115? Responda sem de fato calcular esses novos intervalos. d. Interprete as hipóteses H0: 0 1251 80 e H0: 0 1251 80, e, em seguida, realize um teste ao nível de significância 0,01.

Passo 1

  1. Seja x *   ser um valor fixo de x. Para a variável aleatória

    Y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x *

    vale o seguinte:

    A variância da variável aleatória   Y ^ é

    O desvio padrão é a raiz quadrada da expressão. Ao substituir (estimar) \ σ por s você obtém a estimativa da variância e/ou desvio padrão da variável aleatória   Y ^ .

    Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para a média de Y quando x = x * ,   μ Y ∙ x * é

    Um intervalo de confiança de 90% para a média de Y quando x * =   125 é necessário. Primeiro calcule

    y ^ 125 = β ^ 0 + β ^ 1 ∙ x *

    = 72.958547 + 0.04103377 ∙ 125 = 78.088

    onde os valores marcados em azul são dados nos exemplos mencionados.

    Da tabela no apêndice, para α / 2 = 0.1 / 2 = 0.05 e graus de liberdade n - 2 = 20 - 2 2=18 o t valor é

    t α 2 , n - 2 = t 0.05,18 = 1.734

    A estimativa do desvio padrão da variável aleatória   Y ^ é

    onde os valores marcados em azul foram retirados dos exemplos mencionados.

    Finalmente, um intervalo de confiança de 90% para a média de Y quando x * =   125 é

    Passo 2

  2. Intervalo de previsão
  3. é um intervalo de previsão de 100 1 - α % para uma observação futura Y, quando x   =   x * .

    Os valores necessários para calcular um intervalo de previsão de 90% podem ser encontrados em (a); assim, um intervalo de previsão de 90% quando x * =   125 é

    O intervalo de previsão é mais largo que o intervalo de confiança calculado em (a). Isso ocorre porque o erro padrão é maior para o intervalo de previsão.

  4. x - = 1 20 2817.9 = 140.895
  5. Sem calcular o CI e o PI, observe que o valor

    140.895 - 115 > 140.895 - 125

    o que implica que

    140.895 - 115 ² > ( 140.895 - 125 ) ²

    portanto, o erro padrão do IC e do PI quando x=115 será maior e o IC e o PI serão mais largos do que o IC e o PI quando x=125.

    Passo 3

A interpretação das hipóteses seria testar, quando a taxa de filtração fosse de 125 kg DS/m/h, se a umidade média é igual ou inferior a 80%.

Ao testar H 0   : β 1 = β 10 contra uma das alternativas, o valor da estatística de teste é

Dependendo da hipótese alternativa, o valor P pode ser determinado como área correspondente sob t n - 2 . O teste de utilidade do modelo

H 0   : β 1 = 0   v s   H a   : β 1 ≠ 0

Os valores requeridos podem ser encontrados na solução (em (a)(a)); assim, o valor da estatística de teste é

O valor de P, por causa da hipótese alternativa, é

P ( T < t ) = P ( T < - 11.42 ) = 0.00 ,

onde o valor foi calculado por software e a variável aleatória T tem distribuição de Student com graus de liberdade n-2=20-2=18. Porque

P = 0.00 < 0.01 = α

rejeitar a hipótese nula H 0   em determinado nível de significância. É estatisticamente significativo que a umidade média seja inferior a 80% quando a taxa de filtração for 125.

Resposta

  1. (77.797,78.378);
  2. (76,895, 79,281);
  3. CI e PI mais amplos quando x=115;
  4. Rejeitar a hipótese nula H 0

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