Enunciado

O artigo “The Incorporation of Uranium and Silver by Hydrothermally Synthesized Galena” (Econ. Geology, 1964, p. 1003–1024) descreve a determinação do volume de prata nos cristais de galena formados em um sistema hidrotérmico acima de uma amplitude de temperatura. Sendo x temperatura de cristalização em °C e y Ag2S em %mol, os dados são:

de onde xi 6130, x 2 i 3.022.050, yi 4,73, y 2 i 2,1785, xi yi 2418,74, ˆ 1 0,00143, ˆ 0 0,311, e s 0,131. a. Estime o volume médio real de prata quando a temperatura é de 500°C usando um intervalo de confiança de 95%. b. Como a amplitude de um IC de 95% para o volume médio real de prata (quando a temperatura é de 400°C) pode se comparar com a amplitude do intervalo na parte (a)? Responda sem calcular esse novo intervalo. c. Calcule um IC de 95% para uma mudança média real no volume de prata associada com um aumento de temperatura de 1°C. d. Suponha que se tenha acreditado antes que, quando a temperatura de cristalização fosse de 400°C, o volume médio real de prata seria de 0,25. Realize um teste ao nível de significância 0,05 para verificar se os dados amostrais contradizem esse ponto de vista prévio.

Passo 1

  1. O valor previsto é obtido avaliando a linha de regressão estimada em x 0 = 500
  2. y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x

    = - 0.311 + 0.00143 500

    = 0.404

    A média amostral é a soma de todos os valores dividido pelo número de valores:

    Determine o valor t olhando na linha começando com graus de liberdade d f = n - 2 = 13 - 2 = 11 e na coluna com α = ( 1 - c ) / 2 = 0.025 (bicaudal) na tabela da distribuição T de Student

    t α 2 = 2.201

    Determine a margem de erro:

    Os limites do intervalo de confiança tornam-se então:

    y ^ - E = 0.404 - 0.0831 = 0.3209

    y ^ + E = 0.404 + 0.0831 = 0.4871

    Estamos 95% confiantes de que o verdadeiro teor médio de prata quando a temperatura é de 500°C está entre 0.3209 mol% e 0.4871 mol%

    Passo 2

  3. O valor x 0 = 400 0 está mais longe da média amostral x ¯ = 471.5385 que o valor x 0 = 500 .
  4. Quanto mais distante o valor x estiver da média dos valores x, menos precisas serão as previsões e, portanto, mais amplo será o intervalo de confiança.

    Isso então implica que o intervalo de confiança de 95% quando a temperatura é 400°C é maior que a largura do intervalo de confiança de 95% na parte (a).

  5. Determine o valor t olhando na linha começando com graus de liberdade d f = n - 2 = 13 - 2 = 11 e na coluna com α = ( 1 - c ) / 2 = 0.025 (bicaudal) na tabela da distribuição T de Student:
  6. t α 2 = 2.201

    O desvio padrão da inclinação é o desvio padrão s do desvio aleatório ϵ dividido pela raiz quadrada de S x x

    Os limites do intervalo de confiança para β 1 são então:

    Estamos 95% confiantes de que a verdadeira mudança média no teor de prata associada a um aumento de 1°C na temperatura está entre 0,000635 mol% e 0.002225 mol%.

    Passo 3

  7. O valor previsto é obtido avaliando a linha de regressão estimada em x 0 = 400

y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x

= - 0.311 + 0.00143 400

= 0.261

A média amostral é a soma de todos os valores dividido pelo número de valores:

x ¯ = ∑ x i n = 6130 13 ≈ 471.5385

Determine o valor t olhando na linha começando com graus de l i b e r d a d e   d f = n - 2 = 13 - 2 = 11   e na coluna com α = ( 1 - c ) / 2 = 0.025 (bicaudal) na tabela da distribuição T de Student:

t α 2   = 2.201

A margem de erro é:

Os limites do intervalo de confiança tornam-se então:

Estamos 95% confiantes de que o verdadeiro teor médio de prata quando a temperatura é de 500°C está entre 0,1629 mol% e 0,3591 mol%.

Como 0,25 está entre 0,1629 e 0,3591, é plausível que o verdadeiro teor médio de prata seja 0,25 e, portanto, concluímos que não há evidências suficientes para apoiar a afirmação de que os dados da amostra contradizem essa crença anterior

Resposta

  1. ( 0.3209,0.4871 )
  2. Mais Largo
  3. 0.000635,0.002225
  4. Não há evidências suficientes para apoiar a afirmação de que os dados da amostra contradizem essa crença anterior.

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