Enunciado

Em relação ao Exercício 11.7, construa

(a) um intervalo de confiança de 95% para a média das

vendas semanais quando são gastos $ 45 em publicidade;

(b) um intervalo de predição de 95% para a venda semanal quando são gastos $ 45 em publicidade.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Deixe y = a média semanal de vendas ( $ ) , e x = os custos de publicidade ( $ ) . Agora vamos encontrar a linha de regressão para prever as vendas semanais a partir de gastos com publicidade. A linha de regressão necessária é , y ˆ = a ˆ + b ˆ x onde e são a ˆ os estimadores de e b ˆ respectivamente, e são dados da seguinte forma: α β

b ˆ   = n ∑ i = 1 n     x i y i - ∑ i = 1 n     x i ∑ i = 1 n     y i n ∑ i = 1 n     x i 2 - ∑ i = 1 n     x i 2   = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ y i - y ‾ ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2 a ˆ   = ∑ i = 1 n     y i - b ∑ i = 1 n     x i n   = y ‾ - b x ‾

Passo 2

Agora vamos encontrar a inclinação a ˆ e interceptar b ˆ a partir dos dados fornecidos. O quadro abaixo apresentado fornece-nos as informações necessárias para o cálculo posterior:

  ∑ i = 1 n     x i = 410   ∑ i = 1 n     y i = 5445   ∑ i = 1 n     x i 2 = 15650   ∑ i = 1 n     x i y i = 191,325

Passo 3

Substituindo os valores da tabela acima nas fórmulas dadas, teremos os seguintes resultados:

b ˆ   = n ∑ i = 1 n     x i y i - ∑ i = 1 n     x i ∑ i = 1 n     y i n ∑ i = 1 n     x i 2 - ∑ i = 1 n     x i 2   = ( 12 ) ( 191325 ) - ( 410 ) ( 5445 ) ( 12 ) ( 15650 ) - ( 410 ) 2   = 3.2208 a ˆ   = ∑ i = 1 n     y i - b ∑ i = 1 n     x i n   = ( 5445 ) - ( 3.2208 ) ( 410 ) 12   = 343.706

Assim, a equação de regressão ajustada para os dados dados é a seguinte:

y ˆ   = a ˆ + b ˆ x   = 343.706 + 3.2208 x

Passo 4

(a) Agora vamos prever as vendas semanais quando os custos de publicidade são $ 45 . Da regressão acima da linha temos,

y ˆ 0   = a ˆ + b ˆ x   = 343.706 + ( 3.2208 ) ( 45 )   = 488.642

Por isso, a venda semanal prevista é $ 488.642 .

Passo 5

S x x = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2 = 1,641.667 S y y = ∑ i = 1 n     y i - y ‾ 2 = 42,456.25 S x y = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ y i - y ‾ = 5287.5

Em primeiro lugar, vamos avaliar , s 2 que é um estimador imparcial de , σ 2 para os dados dados, é dado da seguinte forma:

Passo 6

s 2   = S S E n - 2   = S y y - b S x y n - 2   = 42256.25 - ( 3.2208 ) ( 5287.5 ) 12 - 2   = 2522.627 s   = s 2   = 2555.67   = 50.2257

Agora temos que construir um 95 % intervalo de confiança para a média de vendas semanais, μ η + 5 quando x 0 = 45 , que são dadas da seguinte forma:

y ˆ 0 - t α / 2 s 1 n + x 0 - x ‾ 2 S x x < μ η ∣ x 0 < y ˆ 0 + α / 2 s 1 n + x 0 - x ‾ 2 S x x

Onde t α / 2 está um valor da t distribuição com ( n - 2 ) graus de liberdade. O valor tabulado da distribuição t para um 0.05 nível de significância no teste de duas caudas para 10 graus de liberdade t 0.05 / 2 = 2.228 . Agora, o intervalo de confiança é dado da seguinte forma:

488.642 - ( 2.228 ) ( 50.2257 ) 1 12 + ( 45 - 34.1666 ) 2 1641.667 < μ η ∣ 45 < 488.642 + ( 2.228 ) ( 50.2257 ) 1 12 + ( 45 - 34.1666 ) 2 1641.667 444.611 < μ η ∣ 45 < 532.673

Daí o intervalo de confiança para a média de vendas semanais, μ y 45 quando x = 45 é (444.611, 532.673 )

Passo 7

(b) Agora temos que construir um intervalo de previsão para a média de vendas semanais, 95 % quando μ y ∣ 45 , que são dadas da seguinte forma: x 0 = 45

y ˆ 0 - t α / 2 s 1 n + x 0 - x ‾ 2 S x x < μ η ∣ x 0 < y ˆ 0 +   α / 2 s 1 n + x 0 - x ‾ 2 S x x

Onde t α / 2 está um valor da t distribuição com ( n - 2 ) graus de liberdade. O valor tabulado da t -distribuição para um 0.05 nível de significância no teste de duas caudas para 10 graus de liberdade t 0.05 / 2 = 2.228 Agora o intervalo de confiança é dado da seguinte forma:

488.642 - ( 2.228 ) ( 50.2257 ) 1 + 1 12 + ( 45 - 34.1666 ) 2 1641.667 < μ Y ∣ 45 < 488.642 + ( 2.228 ) ( 50.2257 ) 1 + 1 12 + ( 45 - 34.1666 ) 2 1641.667 368.388 < μ Y ∣ 45 < 608.642

Daí o intervalo de previsão para a média de vendas semanais, μ y 45 quando x = 45 é ( 368.388 , 608.642).

Resposta

Resposta nos passos.

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