Enunciado

Sabe-se que 60% dos camundongos inoculados com soro estão protegidos contra determinada doença. Se cinco camundongos são inoculados, determine a probabilidade de que

(a) nenhum contraia a doença;

(b) menos de dois contraiam a doença;

(c) mais de três contraiam a doença.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver um exercício de probabilidade juntos? Vem comigo!

Primeiramente, vamos definir nossa variável aleatória X, esta será a quantidade de camundongos que contraem determinada doença.

Show! Com isso em mente podemos modelar nosso problema como binomial, da seguinte maneira:

b x ; n ; p   o n d e   n = 5 ,   p = 0.4   e   q = 0.6

Por que modelar dessa forma?

Pois:

n conta a quantidade de “matéria” que vamos estudar, e no caso são 5 camundongos.

p é a nossa probabilidade de sucesso, e no caso da nossa variável aleatória X, vale 0.4 que é a probabilidade de um camundongo contrair a doença.

Passo 2

Agora que temos o problema todo modelado, vamos ao item a).

Queremos P ( X = 0 )

Sabemos que P X = 0 = b 0 ; 5 ; 0.4

Lembrando que:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Podemos resolver o item a) tranquilamente.

Assim,

P X = 0 = 5 0 0.4 0 0.6 5 = 0.0778

Passo 3

Agora vamos ao item b)

Queremos P ( X < 2 )

Que pode ser calculado da seguinte maneira:

P X < 2 = P X ≤ 1 = ∑ x = 0 1 b ( x ; 5 ; 0.4 )

Vale lembrar que: b x ; n ; p = n x p x q n - x

Abrindo a somatória, ficamos com:

P X < 2 = P X ≤ 1 = 0.0778 + 0.2592 = 0.3370

E por último, mas não menos importante, vamos ao item c).

Nesse caso queremos P X > 3

Podemos usar um truque que facilite nossas contas, basta usar o complementar.

P X > 3 = 1 - P X ≤ 3 = 1 - ∑ x = 0 3 b ( x ; 5 ; 0.4 )

Lembrando novamente que:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Abrindo a somatória e calculando cada caso, teremos:

P X > 3 = 1 - P X ≤ 3 = 1 - 0.0778 + 0.2592 + 0.3456 + 0.2304 = 0.0870

Resposta

a) P X = 0 = 0.0778

b) P X < 2 = P X ≤ 1 = 0.3370

c) P X > 3 = 1 - P X ≤ 3 = 0.0870

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