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desse livro

A seção de assistência técnica da Companhia MB tem cinco funcionários: A ,   B ,   C ,   D e E , cujos tempos de serviço na companhia são, respectivamente, um, três, cinco, cinco e sete anos.

  1. Faça um gráfico representando a distribuição de frequência dos tempos de serviço X .
  2. Calcule a média m e ( X ) , a variância v a r ( X ) e a mediana m d ( X ) .
  3. Escreva os 25 possíveis pares de funcionários para atender a ambos os pedidos.
  4. Para cada par, calcule o tempo médio de serviço - X faça a distribuição de frequência e uma representação gráfica. Compare com o resultado de ( a ) .
  5. Calcule para os 25 valores de   X - os parâmetros m e ( X - ) ,   v a r ( X - ) e m d ( X - ) . Compare com os resultados obtidos em ( b ) . Que tipo de conclusão você poderia tirar?
  6. Para cada par obtido em ( c ) , calcule a variância do par e indique-a por   S 2 · Faça a representação gráfica da distribuição dos valores de S 2 .
  7. Calcule m e ( S 2 ) e v a r ( S 2 ) .
  8. Indicando por X 1 a variável que expressa o tempo de serviço do funcionário que irá atender à firma Verde e X 2 o que irá atender à firma Azul, faça a distribuição conjunta da variável bidimensional ( X 1 ,   X 2 ) .
  9. As duas variáveis X 1 e X 2 são independentes?
  10. Você pode falar sobre as distribuições “marginais” de   X 1 e X 2 ?
  11. Suponha agora que três firmas solicitem o serviço de assistência técnica. Quantas triplas podem ser formadas?
  12. Sem calcular todas as possibilidades, como você acha que ficaria o histograma de X - ? E m e ( X - ) ? E v a r ( X - )?
  13. E sobre a variável S 2 ?
  14. A variável tridimensional ( X 1 ,   X 2 ,   X 3 ) teria alguma propriedade especial para as suas distribuições “marginais”?

Passo 1

Fazendo os itens a ,   b temos:

O gráfico da alternativa ( a ) é dado por:

E para o item b ,   vamos, inicialmente, calcular a média aritmética dos dados:

M e X = ∑ x i n = 1 + 3 + 5 + 5 + 7 5 = 21 5 = 4,2

Para encontrarmos a mediana, como se trata de um conjunto com um número ímpar de elementos, basta identificarmos o termo central. Neste caso: M d X = X ( 3 ) = 5 .

Finalmente, vamos calcular a variância dos dados:

V a r X = ∑ ( x i - x - ) ²   n - 1 = - 3,2 2 + - 1,2 2 + 0,8 2 + 0,8 2 + 2,8 2 5 - 1 = 20,8 4 = 5,2

Passo 2

Em ( c )   25 possíveis pares de funcionários para atender ambos os pedidos são: A , A , A , B , A , C , A , D , A , E , B , A , B , B , B , C , B , D , B , E C , A , C , B , C , C , C , D , C , E , D , A , D , B , D , C , D , D , D , E , E , A , E , B , E , C , E , D , E , E .

E para d ,   o tempo médio de serviço X - para o par ( B , D ) , por exemplo, é: X - ( B , D ) = 3 + 5 2 = 4

Vamos construir uma tabela de distribuição de frequências para X - :

e ,   podemos observar que: M e X = M e X -   e V a r X 2 = V a r X - .

Passo 3

Em ( f ) , vamos construir uma tabela para a distribuição de frequências de S 2 :

E por fim,

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

Em ( g ) , temos M e S 2 = ∑ x i n = 52 25 = 2,08 e V a r S 2 = ∑ ( x i - x - ) ²   n - 1 = - 2,08 2 + ⋯ + 6,92 2 25 - 1 = 153,36 24 = 6,39 .

h ,   construindo a tabela pedida, obtemos:

Em i ,   concluímos que as variáveis são independentes. Em j ,   concluímos que as distribuições “marginais” de   X 1 e X 2 são iguais entre si e à distribuição da variável aleatória X . Em l ,   poderão ser formadas 5 × 25 = 5 3 = 125 triplas.

Em m , teremos um histograma cujo formato se assemelha à de uma curva normal. Em n , o histograma formado terá assimetria curvada para a direita.

Por fim, em o ,   como para a variável bidimensional ( X 1 , X 2 ) , a variável tridimensional ( X 1 , X 2 ,   X 3 ) , irá ter distribuições marginais iguais à distribuição da variável aleatória X .

Resposta

Assim, conclui-se o desejado.

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