Enunciado

Segundo dados da CESP, foi feito um levantamento, em n = 19 cidades do estado de São Paulo, a respeito da extensão da rede de transmissão urbana Y (em km de rede), em função da população economicamente ativa vinculada a atividades urbanas X 1 (em mil habitantes) e em função também da extensão territorial da cidade X 2 (em km2).

Efetuados os cálculos dos somatórios necessários à montagem de regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear simples (só com X 1 ).

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Como no enunciado queremos a equação da regressão linear simples de Y em função de X 1 , a equação da reta será:

Y ^ = a + b X 1

Para encontrarmos os valores de a e b , iremos utilizar as equações:

Para isso, vamos calcular as médias ( Y e X 1 ) pelas seguintes equações:

Precisamos da variância de X 1 :

S 11 = ∑ X 1 2 - ∑ X 1 2 n

E as covariâncias:

Passo 2

Sendo assim, vamos para nosso exercício.

Primeiramente, iremos calcular as médias de Y e X 1 , respectivamente:

Y - = 1269,52 1 9 = 66,82

X - 1 = 19,42 19 = 1,02

O cálculo da variância de X 1 :

S 11 = 69,14 - 19,42 2 1 9 = 49,29

E das covariâncias:

S Y 1 = 3649,24 - 1269,52 ∙ 19,42 1 9 = 2351,66

S 21 = S 12 = 8,21 - 19,42 ∙ 5 , 30 1 9 = 2,79

Passo 3

Com esses valores, finalmente conseguimos calcular os valores de b e a :

b = 2351,66 49,29 = 4 7,71

a = 66,82 - 47,71 ∙ 1,02 = 1 8 , 1 6

Por fim, temos a regressão linear simples de Y em função de X 1 :

Y ^ = 1 8,16 + 4 7,71 ∙ X 1

Até mais galerinha, espero ter conseguido te ajudar!

Resposta

Y ^ = 18,16 + 47,71 ∙ X 1 .

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